Uma junção PN possui concentração de dopantes doadores N_{D}=5 \cdot 10^{17} \mathrm{~cm}^{-3} e de dopantes aceitadores N_{A}=4 \cdot 10^{16} \mathrm{~cm}^{-3}. Com base nestas informações, determine:
a) A concentração de portadores majoritários e minoritários nos dois lados da junção pata T=300 \mathrm{~K}
b) O potencial interno ( V_{0} ) para T=250 \mathrm{~K}, 300 \mathrm{~K} e 350 K . Explique a tendência.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
Dados:
N_{D}=5\cdot10^{17}\,\mathrm{cm^{-3}},\qquad N_{A}=4\cdot10^{16}\,\mathrm{cm^{-3}}.
Perguntas:
a) Determinar as concentrações de portadores majoritários e minoritários nos dois lados da junção para T=300\\ \mathrm{K}.
b) Calcular o potencial interno \;V_{0}\; para T=250\\ \mathrm{K},\;300\\ \mathrm{K} e 350\\ \mathrm{K} e explicar a tendência com a temperatura.

Passo 2

Conceitos e suposições que vamos usar (explicado de forma didática):
  • Em semicondutores dopados, o produto das concentrações de elétrons e buracos em equilíbrio cumpre a lei da massa:
np=n_i^2,
onde n é a concentração de elétrons, p a de buracos e n_i a concentração intrínseca (dependente da temperatura).
  • Em um semicondutor do tipo n fortemente dopado, assumimos ionização completa a 300\\ \mathrm{K}, então a concentração de elétrons majoritários no lado n é aproximadamente
n_n\approx N_D,
e os buracos minoritários são
p_n=\frac{n_i^2}{n_n}\approx\frac{n_i^2}{N_D}.
  • Analogamente, no lado p:
p_p\approx N_A,\qquad n_p=\frac{n_i^2}{N_A}.
  • O potencial built-in (potencial interno) da junção em equilíbrio é dado por
V_0=\frac{kT}{q}\ln\!\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right),
onde k é a constante de Boltzmann, q a carga elementar e \frac{kT}{q}=V_T é a tensão térmica.
  • Precisamos de um valor para n_i em 300\\ \mathrm{K}. Vou usar o valor típico para silício:
n_i(300\\ \mathrm{K})=1,5\cdot10^{10}\,\mathrm{cm^{-3}}.
Isso é uma aproximação padrão em muitos exercícios e provas. Para obter n_i em outras temperaturas usaremos a aproximação exponencial descrita no passo seguinte.

Passo 3

Cálculo das concentrações majoritárias e minoritárias em T=300\\ \mathrm{K} (passo a passo):
  1. Lado n (doadores N_D):
n_n\approx N_D=5\cdot10^{17}\,\mathrm{cm^{-3}}.
Minoritários (buracos):
p_n=\frac{n_i^2}{N_D}=\frac{(1,5\cdot10^{10})^2}{5\cdot10^{17}}.
Calculemos n_i^2:
n_i^2=(1,5\cdot10^{10})^2=2,25\cdot10^{20}.
Agora
p_n=\frac{2,25\cdot10^{20}}{5\cdot10^{17}}=0,45\cdot10^{3}=4,5\cdot10^{2}\,\mathrm{cm^{-3}}.
Portanto no lado n: n_n=5\cdot10^{17}\,\mathrm{cm^{-3}} e p_n=4,5\cdot10^{2}\,\mathrm{cm^{-3}}.
  1. Lado p (aceitadores N_A):
p_p\approx N_A=4\cdot10^{16}\,\mathrm{cm^{-3}}.
Minoritários (elétrons):
n_p=\frac{n_i^2}{N_A}=\frac{2,25\cdot10^{20}}{4\cdot10^{16}}=0,5625\cdot10^{4}=5,625\cdot10^{3}\,\mathrm{cm^{-3}}.
Arredondando para valores com sentido físico: n_p\approx5,6\cdot10^{3}\,\mathrm{cm^{-3}}.
Observação pedagógica: esses resultados mostram que as concentrações majoritárias seguem as dopagens (porque assumimos ionização completa) e as minoritárias são muito pequenas, calculadas pela lei da massa np=n_i^2.

Passo 4

Fórmula e preparação para calcular V_0:
  • Fórmula usada (já citada):
V_0=V_T\ln\!\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right),\qquad V_T=\frac{kT}{q}.
  • Valor numérico útil: em 300\\ \mathrm{K} a tensão térmica típica é
V_T(300\\ \mathrm{K})\approx0,02585\\ \mathrm{V}.
Para outras temperaturas podemos usar a proporcionalidade aproximada V_T(T)=\dfrac{T}{300}\,V_T(300\\ \mathrm{K}), ou calcular V_T=kT/q diretamente. Assim:
V_T(250\\ \mathrm{K})\approx\frac{250}{300}\cdot0,02585=0,02154\\ \mathrm{V},
V_T(350\\ \mathrm{K})\approx\frac{350}{300}\cdot0,02585=0,03016\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Estimativa de n_i para T=250\\ \mathrm{K} e T=350\\ \mathrm{K} (explicação da fórmula usada):
  • A dependência de n_i com a temperatura pode ser aproximada por
n_i(T)\propto T^{3/2}\exp\!\left(-\frac{E_g}{2kT}\right).
Para facilitar cálculos de prova usamos a forma relativa (ignorando o fator T^{3/2} e pequenas variações de E_g com T, que só alteram pouco o resultado), ou seja:
n_i(T)\approx n_i(300)\exp\!\left[-\frac{E_g}{2k}\Big(\frac{1}{T}-\frac{1}{300}\Big)\right].
Aqui usamos para silício E_g\approx1,12\\ \mathrm{eV} e k em unidades de \mathrm{eV/K} é k\approx8,617\cdot10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}. Então o fator constante fica
\frac{E_g}{2k}\approx\frac{1,12}{2\cdot8,617\cdot10^{-5}}\approx6,5\cdot10^{3}\\ \mathrm{K}.
Explicação prática: isso transforma o cálculo em exponenciais com argumentos do tipo \sim6500\,(1/T-1/300), que dá números manejáveis numa prova.

Passo 6

Cálculo numérico de n_i em 250\\ \mathrm{K} e 350\\ \mathrm{K}:
  1. Para T=250\\ \mathrm{K}:
\Delta=\frac{1}{T}-\frac{1}{300}=\frac{1}{250}-\frac{1}{300}=0,004000-0,003333\approx0,000667\\ \mathrm{K^{-1}}.
Então o expoente é
-6500\cdot0,000667\approx-4,333.
Logo
n_i(250)\approx1,5\cdot10^{10}\,e^{-4,333}\approx1,5\cdot10^{10}\cdot0,0131\approx1,97\cdot10^{8}\,\mathrm{cm^{-3}}.
Arredondando: n_i(250)\approx2,0\cdot10^{8}\,\mathrm{cm^{-3}}.
  1. Para T=350\\ \mathrm{K}:
\Delta=\frac{1}{350}-\frac{1}{300}=0,002857-0,003333\approx-0,000476\\ \mathrm{K^{-1}}.
Expoente:
-6500\cdot(-0,000476)\approx+3,095.
Logo
n_i(350)\approx1,5\cdot10^{10}\,e^{3,095}\approx1,5\cdot10^{10}\cdot22,1\approx3,32\cdot10^{11}\,\mathrm{cm^{-3}}.
Arredondando: n_i(350)\approx3,3\cdot10^{11}\,\mathrm{cm^{-3}}.
Observação pedagógica: ignoramos o fator T^{3/2} e pequenas mudanças em E_g; isso introduz pequenas diferenças, mas o comportamento exponencial domina e os valores obtidos são adequados para uma prova.

Passo 7

Cálculo de V_0 em cada temperatura (detalhando os logs e multiplicações):
Primeiro calculemos o produto N_A N_D e n_i^2 de referência:
N_A N_D=(4\cdot10^{16})(5\cdot10^{17})=2\cdot10^{34}\,\mathrm{cm^{-6}}.
  1. Para T=300\\ \mathrm{K} (usando n_i(300)=1,5\cdot10^{10}):
n_i^2(300)=2,25\cdot10^{20}.
Razão:
\frac{N_A N_D}{n_i^2}=\frac{2\cdot10^{34}}{2,25\cdot10^{20}}=8,888\cdot10^{13}.
\ln\!\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)\approx\ln(8,888)+13\ln(10)\approx2,185+29,934\approx32,119.
Com V_T(300)\approx0,02585\\ \mathrm{V},
V_0(300)\approx0,02585\cdot32,119\approx0,830\\ \mathrm{V}.
  1. Para T=250\\ \mathrm{K} (usando n_i(250)\approx2,0\cdot10^{8}):
n_i^2(250)\approx(2,0\cdot10^{8})^2=4,0\cdot10^{16}.
Razão:
\frac{N_A N_D}{n_i^2}=\frac{2\cdot10^{34}}{4,0\cdot10^{16}}=5,0\cdot10^{17}.
\ln\!\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)\approx\ln(5,0)+17\ln(10)\approx1,609+39,143\approx40,752.
Com V_T(250)\approx0,02154\\ \mathrm{V},
V_0(250)\approx0,02154\cdot40,752\approx0,877\\ \mathrm{V}.
  1. Para T=350\\ \mathrm{K} (usando n_i(350)\approx3,3\cdot10^{11}):
n_i^2(350)\approx(3,32\cdot10^{11})^2\approx1,10\cdot10^{23}.
Razão:
\frac{N_A N_D}{n_i^2}=\frac{2\cdot10^{34}}{1,10\cdot10^{23}}\approx1,82\cdot10^{11}.
\ln\!\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)\approx\ln(1,82)+11\ln(10)\approx0,599+25,328\approx25,927.
Com V_T(350)\approx0,03016\\ \mathrm{V},
V_0(350)\approx0,03016\cdot25,927\approx0,781\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Interpretação física da tendência com a temperatura (explicação didática e motivadora):
  • Observamos numericamente que V_0 diminui quando a temperatura aumenta (valores: V_0(250)\approx0,877\\ \mathrm{V}, V_0(300)\approx0,830\\ \mathrm{V}, V_0(350)\approx0,781\\ \mathrm{V}).
  • Por que isso acontece? Dois fatores entram no produto V_0=V_T\ln(N_A N_D/n_i^2):
    1. V_T cresce linearmente com T (aumenta a “escala” térmica).
    2. Porém n_i cresce muito rapidamente com T (comportamento exponencial), o que reduz fortemente o argumento do logaritmo \ln(N_A N_D/n_i^2).
  • O efeito da rápida elevação de n_i domina sobre o leve aumento de V_T, resultando em uma diminuição líquida de V_0 com o aumento da temperatura.
  • Intuitivamente: com mais portadores intrínsecos a temperaturas mais altas, a diferença de potencial necessária para equilibrar as fermi-levels dos dois lados diminui.

Resposta

(a) Lado n: n_n=5\cdot10^{17}\,\mathrm{cm^{-3}}, p_n=4,5\cdot10^{2}\,\mathrm{cm^{-3}}
(a) Lado p: p_p=4\cdot10^{16}\,\mathrm{cm^{-3}}, n_p\approx5,6\cdot10^{3}\,\mathrm{cm^{-3}}
(b) V_0(250\\ \mathrm{K})\approx0,877\\ \mathrm{V}
(b) V_0(300\\ \mathrm{K})\approx0,830\\ \mathrm{V}
(b) V_0(350\\ \mathrm{K})\approx0,781\\ \mathrm{V}

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