Uma junção PN possui concentração de dopantes doadores
e de dopantes aceitadores
. Com base nestas informações, determine:
a) A concentração de portadores majoritários e minoritários nos dois lados da junção pata
b) O potencial interno (
) para
e 350 K . Explique a tendência.
a) A concentração de portadores majoritários e minoritários nos dois lados da junção pata
b) O potencial interno (
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
Dados:
Perguntas:
a) Determinar as concentrações de portadores majoritários e minoritários nos dois lados da junção para .
b) Calcular o potencial interno para
e
e explicar a tendência com a temperatura.
a) Determinar as concentrações de portadores majoritários e minoritários nos dois lados da junção para
b) Calcular o potencial interno
Passo 2
Conceitos e suposições que vamos usar (explicado de forma didática):
- Em semicondutores dopados, o produto das concentrações de elétrons e buracos em equilíbrio cumpre a lei da massa:
onde
é a concentração de elétrons,
a de buracos e
a concentração intrínseca (dependente da temperatura).
- Em um semicondutor do tipo n fortemente dopado, assumimos ionização completa a
, então a concentração de elétrons majoritários no lado n é aproximadamente
e os buracos minoritários são
- Analogamente, no lado p:
- O potencial built-in (potencial interno) da junção em equilíbrio é dado por
onde
é a constante de Boltzmann,
a carga elementar e
é a tensão térmica.
- Precisamos de um valor para
em . Vou usar o valor típico para silício:
Isso é uma aproximação padrão em muitos exercícios e provas. Para obter
em outras temperaturas usaremos a aproximação exponencial descrita no passo seguinte.
Passo 3
Cálculo das concentrações majoritárias e minoritárias em
(passo a passo):
- Lado n (doadores
):
Minoritários (buracos):
Calculemos
:
Agora
Portanto no lado n:
e
.
- Lado p (aceitadores
):
Minoritários (elétrons):
Arredondando para valores com sentido físico:
.
Observação pedagógica: esses resultados mostram que as concentrações majoritárias seguem as dopagens (porque assumimos ionização completa) e as minoritárias são muito pequenas, calculadas pela lei da massa
.
Passo 4
Fórmula e preparação para calcular
:
- Fórmula usada (já citada):
- Valor numérico útil: em
a tensão térmica típica é
Para outras temperaturas podemos usar a proporcionalidade aproximada
, ou calcular
diretamente. Assim:
Passo 5
Estimativa de
para
e
(explicação da fórmula usada):
- A dependência de
com a temperatura pode ser aproximada por
Para facilitar cálculos de prova usamos a forma relativa (ignorando o fator
e pequenas variações de
com
, que só alteram pouco o resultado), ou seja:
Aqui usamos para silício
e
em unidades de
é
. Então o fator constante fica
Explicação prática: isso transforma o cálculo em exponenciais com argumentos do tipo
, que dá números manejáveis numa prova.
Passo 6
Cálculo numérico de
em
e
:
- Para
:
Então o expoente é
Logo
Arredondando:
.
- Para
:
Expoente:
Logo
Arredondando:
.
Observação pedagógica: ignoramos o fator
e pequenas mudanças em
; isso introduz pequenas diferenças, mas o comportamento exponencial domina e os valores obtidos são adequados para uma prova.
Passo 7
Cálculo de
em cada temperatura (detalhando os logs e multiplicações):
Primeiro calculemos o produto
e
de referência:
- Para
(usando ):
Razão:
Com
,
- Para
(usando ):
Razão:
Com
,
- Para
(usando ):
Razão:
Com
,
Passo 8
Interpretação física da tendência com a temperatura (explicação didática e motivadora):
- Observamos numericamente que
diminui quando a temperatura aumenta (valores: , , ). - Por que isso acontece? Dois fatores entram no produto
: -
cresce linearmente com (aumenta a “escala” térmica). - Porém
cresce muito rapidamente com (comportamento exponencial), o que reduz fortemente o argumento do logaritmo .
-
- O efeito da rápida elevação de
domina sobre o leve aumento de , resultando em uma diminuição líquida de com o aumento da temperatura. - Intuitivamente: com mais portadores intrínsecos a temperaturas mais altas, a diferença de potencial necessária para equilibrar as fermi-levels dos dois lados diminui.
Resposta
(a) Lado n:
,
(a) Lado p: ,
(a) Lado p:
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)