Uma lâmina triangular com vértices (0,0),(0,1) e(1,0) tem função de densidade \delta(x, y)=x y. Calcule sua massa total.

Passo 1

O enunciado nos dá uma lâmina triangular com vértices em (0,0), (0,1) e (1,0), cuja densidade superficial é \delta(x,y)=x\,y. Queremos calcular a massa total usando integração dupla.

Passo 2

O domínio T dessa lâmina é o triângulo
T=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1-x\}.

Passo 3

A massa é dada por
m=\iint_{T}\delta(x,y)\,dA =\iint_{T}x\,y\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}x\,y\,dy\,dx.

Passo 4

Calculando a integral interna em y:
\int_{0}^{1-x}x\,y\,dy =x\int_{0}^{1-x}y\,dy =x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1-x} =\frac{x(1-x)^{2}}{2}.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}\frac{x(1-x)^{2}}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(x-2x^{2}+x^{3})\,dx =\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{4}\Bigr) =\frac{1}{24}.

Resposta

A massa total da lâmina é \frac{1}{24}.

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