Determine uma função f tal que \vec{F}=\vec{\nabla} f e depois calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} sobre a curva C fornecida.
\vec{F}(x, y, z)=\left(2 x y, x^{2}+2 y z, y^{2}\right), C é o segmento de reta que vai de (2,-3,1) a (-5,1,2).

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função potencial f tal que
\vec{F}(x,y,z) = \nabla f(x,y,z)
onde
\vec{F}(x,y,z) = \bigl(2xy,\;x^2+2yz,\;y^2\bigr)
e, em seguida, calcular a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}
no segmento de reta C que vai do ponto (2,-3,1) até (-5,1,2).
Conteúdo: campos vetoriais conservativos, potencial escalar e teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Verificamos se \vec{F} é conservativo conferindo as condições de igualdade das derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x, \quad \frac{\partial}{\partial x}(x^2+2yz)=2x,
\frac{\partial}{\partial z}(2xy)=0, \quad \frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0,
\frac{\partial}{\partial z}(x^2+2yz)=2y, \quad \frac{\partial}{\partial y}(y^2)=2y.
Todas batem, logo \vec{F} é conservativo e existe f tal que \nabla f=\vec{F}.

Passo 3

Para encontrar f, integramos a primeira componente em x:
f(x,y,z)=\int 2xy\,dx = x^2y + g(y,z).
Derivando em y:
\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + \frac{\partial g}{\partial y} \stackrel{!}{=} x^2 + 2yz \;\Longrightarrow\; \frac{\partial g}{\partial y}=2yz.
Integramos em y:
g(y,z)=\int 2yz\,dy = y^2z + h(z).
Finalmente, de \partial f/\partial z = y^2 + h'(z) igual a y^2 segue h'(z)=0.
Portanto, podemos escolher a constante h(z)=0 e obter
f(x,y,z)=x^2y + y^2z + C,
que, sem perda, tomamos C=0.

Passo 4

Pelo teorema fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = f\bigl(\!-5,1,2\bigr)\;-\;f\bigl(2,-3,1\bigr).

Passo 5

Calculamos
f(-5,1,2)=(-5)^2\cdot1 + 1^2\cdot2 =25+2=27, \quad f(2,-3,1)=2^2\cdot(-3) + (-3)^2\cdot1 =-12+9=-3.
Logo,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =27 - (-3) =30.

Resposta

A função potencial é
f(x,y,z)=x^2y + y^2z + C
e
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = 30.

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