Determine uma função
tal que
e depois calcule
sobre a curva
fornecida.
é o segmento de reta que vai de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma função potencial
tal que
onde
e, em seguida, calcular a integral de linha
no segmento de reta
que vai do ponto
até
.
Conteúdo: campos vetoriais conservativos, potencial escalar e teorema fundamental das integrais de linha.
Conteúdo: campos vetoriais conservativos, potencial escalar e teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Verificamos se
é conservativo conferindo as condições de igualdade das derivadas parciais:
Todas batem, logo
é conservativo e existe
tal que
.
Passo 3
Para encontrar
, integramos a primeira componente em
:
Derivando em
:
Integramos em
:
Finalmente, de
igual a
segue
.
Portanto, podemos escolher a constante e obter
Portanto, podemos escolher a constante
que, sem perda, tomamos
.
Passo 4
Pelo teorema fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
Passo 5
Calculamos
Logo,
Resposta
A função potencial é
e