Uma lâmpada incandescente de filamento de tungstênio apresenta uma emissão que pode ser considerada igual a de um corpo negro. O filamento tem formato cilíndrico, com um comprimento L=12 \mathrm{~cm} e um raio r=0,1 \mathrm{~mm}. A emissão ocorre pela superfície lateral do filamento.
(a) Determine a área lateral do filamento e a potência por unidade de área emitida pelo filamento, o que corresponde à radiância total, quando a potência emitida vale P=67 \mathrm{~W} \cdot(1,0 ponto)
(b) Determine a temperatura do filamento sabendo que o comprimento de onda onde ocorre a máxima emissão vale \lambda_{\text {max }}=1,457 \mu \mathrm{~m} e que a lei de Wien estabelece que ( 0,5 ponto)
\lambda_{\max } T=0,2014 \frac{h c}{k_{B}} \approx 2,898 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~K}
A máxima emissão ocorre no infravermelho, razão pela qual estas lâmpadas são usadas em granjas, para aquecimento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento do filamento: \,L=12\\ \mathrm{cm} = 0{,}12\\ \mathrm{m}.
    • Raio do filamento: \,r=0{,}1\\ \mathrm{mm} = 0{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
    • Potência total emitida (pela superfície lateral): \,P=67\\ \mathrm{W}.
    • Comprimento de onda de máxima emissão: \,\lambda_{\max}=1{,}457\\ \mu\mathrm{m}=1{,}457\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
    • Lei de Wien fornecida: \,\lambda_{\max} T = 0{,}2014\,\dfrac{h c}{k_B}\approx 2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar a área lateral do filamento e a potência por unidade de área emitida pelo filamento (isto é, a emissão total por unidade de área).
    • (b) Determinar a temperatura do filamento usando a lei de Wien dada.

Passo 2

Área lateral do cilindro: explicação da fórmula e cálculo passo a passo.
  • Conceito e fórmula: a área lateral de um cilindro (sem as bases) é a circunferência da seção vezes o comprimento. Em fórmula:
    A_{\text{lat}}=2\pi r L,
    onde \,r é o raio e \,L o comprimento. Aqui \,2\pi r é o comprimento da circunferência da base e multiplicando por \,L obtemos a área da superfície lateral.
  • Substituindo os valores (primeiro escrevendo em metros):
    r=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m},\qquad L=0{,}12\\ \mathrm{m}.
A_{\text{lat}}=2\pi\,(1{,}0\times10^{-4})\,(0{,}12)=2\pi\,(1{,}2\times10^{-5}).
  • Efetuando a multiplicação simbólica:
    A_{\text{lat}}=2{,}4\pi\times10^{-5}.
  • Valor numérico (usar \pi\approx3{,}14159265):
    A_{\text{lat}}=2{,}4\pi\times10^{-5}\approx7{,}5398\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Arredondando de forma prática (3 algarismos significativos):
    A_{\text{lat}}\approx7{,}54\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Potência por unidade de área emitida (radiância total): conceito e cálculo.
  • Conceito: se toda a potência \,P é emitida pela área lateral \,A_{\text{lat}}, a potência por unidade de área (fluxo de energia por área) é simplesmente
    j=\frac{P}{A_{\text{lat}}},
    onde \,j tem unidades de \mathrm{W\cdot m^{-2}}. Isso é o que o enunciado chama de “radiância total” (a potência total emitida por unidade de área, assumindo emissão por toda a área lateral).
  • Substituindo os números:
    j=\frac{67\\ \mathrm{W}}{7{,}5398\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}}.
  • Cálculo numérico:
    j\approx8{,}88514\times10^{5}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}.
  • Arredondando de forma prática (3 algarismos significativos):
    j\approx8{,}89\times10^{5}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}.

Passo 4

Determinar a temperatura usando a lei de Wien: explicação da lei e cálculo.
  • Explicação da lei de Wien: a lei de deslocamento de Wien diz que o produto entre o comprimento de onda onde a emissão espectral de um corpo negro é máxima e a temperatura absoluta do corpo é uma constante:
    \lambda_{\max}\,T = b,
    onde \,b é a constante de Wien. No enunciado foi dado que
    b=0{,}2014\,\frac{h c}{k_B}\approx2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
    Aqui:
    • \,h é a constante de Planck,
    • \,c é a velocidade da luz,
    • \,k_B é a constante de Boltzmann.
      A forma prática que usaremos é a aproximação numérica \,b\approx2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
  • Isolando a temperatura:
    T=\frac{b}{\lambda_{\max}}.
  • Substituindo \,b e \lambda_{\max}=1{,}457\times10^{-6}\\ \mathrm{m}:
    T=\frac{2{,}898\times10^{-3}}{1{,}457\times10^{-6}}.
  • Cálculo numérico:
    T\approx1{,}989\times10^{3}\\ \mathrm{K}.
  • Em valor arredondado:
    T\approx1{,}99\times10^{3}\\ \mathrm{K}\approx1989\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Breve verificação de consistência (opcional, para intuir se os resultados fazem sentido).
  • Para um corpo negro, a potência por unidade de área é dada por \sigma T^{4}, onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann ( \sigma\approx5{,}6704\times10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}). Se calcularmos \sigma T^{4} com T\approx1{,}989\times10^{3}\\ \mathrm{K} obtemos algo na ordem de 10^{6}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}, o que está na mesma ordem de grandeza de j\approx8{,}89\times10^{5}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}. Isso indica consistência qualitativa entre a temperatura obtida por Wien e a potência por unidade de área medida — lembrando que na prática o filamento não é um corpo negro perfeito (tem emissividade menor que 1), então números exatos podem diferir, mas a ordem de grandeza bate razoavelmente.

Resposta

(a) A_{\text{lat}}\approx7{,}54\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}},\quad j=\dfrac{P}{A_{\text{lat}}}\approx8{,}89\times10^{5}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}.
(b) T\approx1{,}99\times10^{3}\\ \mathrm{K}\approx1989\\ \mathrm{K}.

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