Uma lâmpada incandescente de filamento de tungstênio apresenta uma emissão que pode ser considerada igual a de um corpo negro. O filamento tem formato cilíndrico, com um comprimento
e um raio
. A emissão ocorre pela superfície lateral do filamento.
(a) Determine a área lateral do filamento e a potência por unidade de área emitida pelo filamento, o que corresponde à radiância total, quando a potência emitida vale
ponto)
(b) Determine a temperatura do filamento sabendo que o comprimento de onda onde ocorre a máxima emissão vale
e que a lei de Wien estabelece que ( 0,5 ponto)
A máxima emissão ocorre no infravermelho, razão pela qual estas lâmpadas são usadas em granjas, para aquecimento.
(a) Determine a área lateral do filamento e a potência por unidade de área emitida pelo filamento, o que corresponde à radiância total, quando a potência emitida vale
(b) Determine a temperatura do filamento sabendo que o comprimento de onda onde ocorre a máxima emissão vale
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Comprimento do filamento:
. - Raio do filamento:
. - Potência total emitida (pela superfície lateral):
. - Comprimento de onda de máxima emissão:
. - Lei de Wien fornecida:
- Comprimento do filamento:
-
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar a área lateral do filamento e a potência por unidade de área emitida pelo filamento (isto é, a emissão total por unidade de área).
- (b) Determinar a temperatura do filamento usando a lei de Wien dada.
Passo 2
Área lateral do cilindro: explicação da fórmula e cálculo passo a passo.
-
Conceito e fórmula: a área lateral de um cilindro (sem as bases) é a circunferência da seção vezes o comprimento. Em fórmula:onde
é o raio e o comprimento. Aqui é o comprimento da circunferência da base e multiplicando por obtemos a área da superfície lateral. -
Substituindo os valores (primeiro escrevendo em metros):
-
Efetuando a multiplicação simbólica:
-
Valor numérico (usar
): -
Arredondando de forma prática (3 algarismos significativos):
Passo 3
Potência por unidade de área emitida (radiância total): conceito e cálculo.
-
Conceito: se toda a potência
é emitida pela área lateral , a potência por unidade de área (fluxo de energia por área) é simplesmente ondetem unidades de . Isso é o que o enunciado chama de “radiância total” (a potência total emitida por unidade de área, assumindo emissão por toda a área lateral). -
Substituindo os números:
-
Cálculo numérico:
-
Arredondando de forma prática (3 algarismos significativos):
Passo 4
Determinar a temperatura usando a lei de Wien: explicação da lei e cálculo.
-
Explicação da lei de Wien: a lei de deslocamento de Wien diz que o produto entre o comprimento de onda onde a emissão espectral de um corpo negro é máxima e a temperatura absoluta do corpo é uma constante:onde
é a constante de Wien. No enunciado foi dado que Aqui:-
é a constante de Planck, -
é a velocidade da luz, -
é a constante de Boltzmann.
A forma prática que usaremos é a aproximação numérica.
-
-
Isolando a temperatura:
-
Substituindo
e : -
Cálculo numérico:
-
Em valor arredondado:
Passo 5
Breve verificação de consistência (opcional, para intuir se os resultados fazem sentido).
- Para um corpo negro, a potência por unidade de área é dada por
, onde é a constante de Stefan–Boltzmann ( ). Se calcularmos com obtemos algo na ordem de , o que está na mesma ordem de grandeza de . Isso indica consistência qualitativa entre a temperatura obtida por Wien e a potência por unidade de área medida — lembrando que na prática o filamento não é um corpo negro perfeito (tem emissividade menor que 1), então números exatos podem diferir, mas a ordem de grandeza bate razoavelmente.
Resposta
(a)
(b)
(b)