A água se move a uma velocidade de
em um cano com uma seção reta de
. A água desce gradualmente 4 m enquanto a seção reta aumenta para
.
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Se a pressão antes da descida é
, qual é a pressão depois da descida em atmosferas?
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Se a pressão antes da descida é
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Velocidade inicial da água:
. - Seção reta inicial:
. - Seção reta final:
. - A água desce uma altura de
(ou seja, a posição final está abaixo da inicial). - Pressão antes da descida:
.
O enunciado pede:
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Qual é a pressão depois da descida, expressa em atmosferas?
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Qual é a pressão depois da descida, expressa em atmosferas?
Passo 2
Primeiro passo prático: passar as áreas de
para
. Lembre que
.
Passo 3
Para achar a velocidade final usamos a conservação de massa para fluxo incompressível e estacionário: a vazão volumétrica
é constante ao longo do tubo. A fórmula é
onde
é a área da seção e
é a velocidade do fluido nessa seção. Explicando: como a água é praticamente incompressível, o volume de água que entra por segundo numa secção deve ser igual ao que sai por outra secção; por isso
.
Isolando
:
Agora substituímos os valores (usando as áreas em
que calculamos):
Calcule passo a passo a fração:
Portanto
Passo 4
Agora vamos achar a pressão final usando a equação de Bernoulli entre os dois pontos (pressão
, velocidade
, altitude
). A forma usual é
onde:
-
é a pressão (em ), -
é a densidade do fluido (para água vamos usar ), -
é a velocidade ( ), -
é a aceleração da gravidade (usar ), -
é a altitude (em ).
Assumimos aqui fluxo estacionário, água praticamente incompressível e perdas por atrito desprezíveis (condições padrão para aplicar Bernoulli numa prova).
Aplicando Bernoulli entre o ponto 1 (antes da descida) e o ponto 2 (depois da descida):
Queremos
. Isolando
:
Note que
é a diferença de altura; como a água desce
, tem-se
.
Passo 5
Substituir números na expressão para
. Usaremos
,
,
,
,
e
.
Calcule primeiro a diferença das velocidades ao quadrado:
Agora o termo cinético:
E o termo da energia potencial convertido em pressão:
Somando esses incrementos ao
:
Passo 6
Converter
para atmosferas. A conversão padrão é
.
Fazendo a divisão passo a passo (aproximação suficiente para uma prova):
Passo 7
Resumo rápido do raciocínio (para decorar na prova): primeiro usar conservação de vazão
para achar
. Depois aplicar Bernoulli incluindo o ganho de pressão devido à descida (
) e à diferença de energia cinética
. Pronto — número final em Pascals convertido para atm.
Resposta
(a)
(b)
(b)