A água se move a uma velocidade de 8,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um cano com uma seção reta de 6,0 \mathrm{~cm}^{2}. A água desce gradualmente 4 m enquanto a seção reta aumenta para 10,0 c \mathrm{~m}^{2}.
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Se a pressão antes da descida é 3 \cdot 10^{5} \mathrm{~Pa}, qual é a pressão depois da descida em atmosferas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Velocidade inicial da água: v_1 = 8{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Seção reta inicial: A_1 = 6{,}0\\ \mathrm{cm}^2.
  • Seção reta final: A_2 = 10{,}0\\ \mathrm{cm}^2.
  • A água desce uma altura de 4\\ \mathrm{m} (ou seja, a posição final está 4\\ \mathrm{m} abaixo da inicial).
  • Pressão antes da descida: P_1 = 3\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
O enunciado pede:
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Qual é a pressão depois da descida, expressa em atmosferas?

Passo 2

Primeiro passo prático: passar as áreas de \mathrm{cm}^2 para \mathrm{m}^2. Lembre que 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
A_1 = 6{,}0\\ \mathrm{cm}^2 = 6{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 6{,}0\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}^2
A_2 = 10{,}0\\ \mathrm{cm}^2 = 10{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 1{,}0\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m}^2

Passo 3

Para achar a velocidade final usamos a conservação de massa para fluxo incompressível e estacionário: a vazão volumétrica Q é constante ao longo do tubo. A fórmula é
Q = A v = \text{constante},
onde A é a área da seção e v é a velocidade do fluido nessa seção. Explicando: como a água é praticamente incompressível, o volume de água que entra por segundo numa secção deve ser igual ao que sai por outra secção; por isso A_1 v_1 = A_2 v_2.
Isolando v_2:
v_2 = \frac{A_1}{A_2}\,v_1.
Agora substituímos os valores (usando as áreas em \mathrm{m}^2 que calculamos):
v_2 = \frac{6{,}0\cdot10^{-4}}{1{,}0\cdot10^{-3}}\cdot 8{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Calcule passo a passo a fração:
\frac{6{,}0\cdot10^{-4}}{1{,}0\cdot10^{-3}} = \frac{6{,}0}{1{,}0}\cdot\frac{10^{-4}}{10^{-3}} = 6{,}0\cdot10^{-1} = 0{,}6.
Portanto
v_2 = 0{,}6\cdot 8{,}0\\ \mathrm{m/s} = 4{,}8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora vamos achar a pressão final usando a equação de Bernoulli entre os dois pontos (pressão P, velocidade v, altitude y). A forma usual é
P + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g y = \text{constante ao longo de uma linha de corrente},
onde:
  • P é a pressão (em \mathrm{Pa}),
  • \rho é a densidade do fluido (para água vamos usar \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}),
  • v é a velocidade ( \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade (usar g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}),
  • y é a altitude (em \mathrm{m}).
Assumimos aqui fluxo estacionário, água praticamente incompressível e perdas por atrito desprezíveis (condições padrão para aplicar Bernoulli numa prova).
Aplicando Bernoulli entre o ponto 1 (antes da descida) e o ponto 2 (depois da descida):
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g y_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g y_2.
Queremos P_2. Isolando P_2:
P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr) + \rho g \bigl(y_1 - y_2\bigr).
Note que y_1 - y_2 é a diferença de altura; como a água desce 4\\ \mathrm{m}, tem-se y_1 - y_2 = 4\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Substituir números na expressão para P_2. Usaremos \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, v_1 = 8{,}0\\ \mathrm{m/s}, v_2 = 4{,}8\\ \mathrm{m/s}, P_1 = 3\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa} e y_1 - y_2 = 4\\ \mathrm{m}.
Calcule primeiro a diferença das velocidades ao quadrado:
v_1^2 - v_2^2 = 8{,}0^2 - 4{,}8^2 = 64 - 23{,}04 = 40{,}96\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Agora o termo cinético:
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr) = \tfrac{1}{2}\cdot1000\cdot 40{,}96 = 500\cdot40{,}96 = 20\,480\\ \mathrm{Pa}.
E o termo da energia potencial convertido em pressão:
\rho g (y_1 - y_2) = 1000\cdot 9{,}8\cdot 4 = 1000\cdot 39{,}2 = 39\,200\\ \mathrm{Pa}.
Somando esses incrementos ao P_1:
P_2 = 300\,000\\ \mathrm{Pa} + 20\,480\\ \mathrm{Pa} + 39\,200\\ \mathrm{Pa} = 359\,680\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Converter P_2 para atmosferas. A conversão padrão é 1\\ \mathrm{atm} = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
P_2\\ (\mathrm{atm}) = \frac{359\,680\\ \mathrm{Pa}}{1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa/atm}}.
Fazendo a divisão passo a passo (aproximação suficiente para uma prova):
P_2 \approx 3{,}55\\ \mathrm{atm}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio (para decorar na prova): primeiro usar conservação de vazão A_1 v_1 = A_2 v_2 para achar v_2. Depois aplicar Bernoulli incluindo o ganho de pressão devido à descida ( \rho g \Delta y) e à diferença de energia cinética \tfrac12\rho(v_1^2-v_2^2). Pronto — número final em Pascals convertido para atm.

Resposta

(a) v_2 = 4{,}8\\ \mathrm{m/s}
(b) P_2 \approx 3{,}55\\ \mathrm{atm}

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