Em um lançamento de um projétil para cima, foi desenvolvida a equação horária do espaço do projétil, que se move em linha reta na direção vertical, segundo a expressão S = 105 + 20t - 5t2 (S é dado em metros e, t, em segundos). Nessa situação, determine o módulo da velocidade do projétil ao fim de 3 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. O enunciado nos dá a equação horária do espaço do projétil:
S = 105 + 20t - 5t^2
Aqui, $ S $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. Nosso objetivo é determinar a velocidade do projétil após 3 segundos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Na matemática, isso é representado pela derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular a derivada da função $ S(t) $.
A função dada é:
S(t)
Vamos derivar termo por termo.

Passo 3

Derivando o primeiro termo, que é uma constante:
ddt(105) = 0
Derivando o segundo termo, que é linear em $ t $:
t
Derivando o terceiro termo, que é quadrático em $ t $:
ddt(20t) = 20

Passo 4

Juntando tudo, a derivada de $ S(t) $ em relação ao tempo é a velocidade $ V(t) $:
S(t)

Passo 5

Agora que temos a expressão para a velocidade, substituímos $ t = 3 $ segundos para encontrar a velocidade no instante desejado:
t = 3

Resposta

O módulo da velocidade do projétil ao fim de 3 segundos é 10 m/s.

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