Lançamento Vertical (
)
De um prédio de 20 m de altura, um objeto é lançado verticalmente para cima com
.
De um prédio de 20 m de altura, um objeto é lançado verticalmente para cima com
Passo 1
O enunciado nos dá: um objeto é lançado verticalmente para cima a partir do topo de um prédio com altura
e velocidade inicial
. A aceleração da gravidade é
(vetor apontando para baixo). Vou responder as perguntas padrão que costumam aparecer nesse tipo de exercício (como o professor provavelmente espera):
- (a) Qual o tempo até o objeto atingir a altura máxima?
- (b) Qual a altura máxima atingida medida a partir do solo?
- (c) Quanto tempo o objeto leva para atingir o solo (tempo total de voo)?
- (d) Qual a velocidade do objeto no instante em que atinge o solo (valor algébrico e velocidade escalar)?
Também listo as informações dadas (pego diretamente do enunciado):
- Altura inicial:
. - Velocidade inicial (para cima):
. - Aceleração gravitacional:
.
Passo 2
Escolha de convenção e equações a usar — explicação didática:
- Vou tomar a direção vertical para cima como positiva. Assim, a aceleração devido à gravidade fica
. - Para movimento com aceleração constante usamos estas fórmulas (são as fórmulas básicas de cinemática):
- Lei da velocidade:
. - Aqui
é a velocidade no tempo , é a velocidade inicial e é a aceleração da gravidade em módulo.
- Aqui
- Lei do deslocamento (posição):
. - Aqui
é a altura acima do solo no tempo , é a altura inicial.
- Aqui
- Lei da velocidade:
- Justificativa do método: essas fórmulas são as mais básicas e suficientes para todas as perguntas pedidas (tempo de subida, altura máxima, tempo de queda e velocidade ao atingir o solo). São fórmulas que se aplicam sem necessidade de calculadora e fáceis de manipular.
Passo 3
Tempo até a altura máxima — explicação e cálculo passo a passo:
- Observação: no topo da subida a velocidade instantânea é nula:
. - Use a fórmula da velocidade para achar o tempo
em que :
- Isolando
:
- Substituindo os números (faça as contas mentalmente:
):
- Interpretação: após
o objeto para momentaneamente e começa a cair.
Passo 4
Altura máxima atingida — explicação de duas formas (vou usar a mais direta e também mostrar uma alternativa útil):
Método direto com deslocamento:
Método direto com deslocamento:
- A altura máxima é
. Use a fórmula da posição:
- Substituindo
, , e :
- Calcule passo a passo:
-
. -
. -
.
-
Alternativa (fórmula de energia/cinemática que reduz contas): usar
com
, que dá
- Interpretação: o objeto sobe mais
acima do topo do prédio, atingindo do solo.
Passo 5
Tempo total até atingir o solo — montar e resolver a equação do movimento:
- O instante em que o objeto atinge o solo é o tempo
tal que . - Escrevemos a equação:
- Substituindo números (
):
- Reorganizando para forma padrão de quadrática:
Multiplique por
para facilitar:
Divida tudo por
:
- Agora resolvemos a equação quadrática. Use a fórmula de Bhaskara ou fatoração. Vou usar Bhaskara (mostrando os passos):
- Isso gera duas raízes:
-
. -
(descartar porque tempo negativo não faz sentido fisicamente neste problema).
-
- Portanto o tempo total de voo até atingir o solo é
.
Passo 6
Velocidade ao atingir o solo — usar fórmula da velocidade ou conservação de energia:
Método pela fórmula da velocidade:
Método pela fórmula da velocidade:
- Use
e avalie em :
- O sinal negativo indica que a velocidade está apontando para baixo no instante do impacto; o módulo (velocidade escalar) é
.
Verificação rápida por energia/cinemática (opcional): a queda total desde a altura máximapara o solo dá ; aplicando com na descida e recupera .
Passo 7
Resumo físico e interpretação (motivação para a prova):
- O objeto sobe por
até atingir a altura máxima . - Depois de parar momentaneamente ele desce e atinge o solo em
desde o lançamento. - Ao atingir o solo está com velocidade de
(ou seja, para baixo). - Observação prática: as contas foram feitas sem calculadora usando operações simples (divisões por 2 e quadrados pequenos), exatamente o tipo de raciocínio pedido em provas de cinemática.
Resposta
(a) Tempo até a altura máxima:
(b) Altura máxima acima do solo:
(c) Tempo até atingir o solo (tempo total de voo):
(d) Velocidade ao atingir o solo: (ou seja, velocidade escalar
)
(b) Altura máxima acima do solo:
(c) Tempo até atingir o solo (tempo total de voo):
(d) Velocidade ao atingir o solo: