Lançamento Vertical ( \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )
De um prédio de 20 m de altura, um objeto é lançado verticalmente para cima com 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado nos dá: um objeto é lançado verticalmente para cima a partir do topo de um prédio com altura \,20\\ \mathrm{m}\, e velocidade inicial \,15\\ \mathrm{m/s}\,. A aceleração da gravidade é \,g=10\\ \mathrm{m/s^2}\, (vetor apontando para baixo). Vou responder as perguntas padrão que costumam aparecer nesse tipo de exercício (como o professor provavelmente espera):
  • (a) Qual o tempo até o objeto atingir a altura máxima?
  • (b) Qual a altura máxima atingida medida a partir do solo?
  • (c) Quanto tempo o objeto leva para atingir o solo (tempo total de voo)?
  • (d) Qual a velocidade do objeto no instante em que atinge o solo (valor algébrico e velocidade escalar)?
Também listo as informações dadas (pego diretamente do enunciado):
  • Altura inicial: \,h_0 = 20\\ \mathrm{m}\,.
  • Velocidade inicial (para cima): \,v_0 = 15\\ \mathrm{m/s}\,.
  • Aceleração gravitacional: \,g = 10\\ \mathrm{m/s^2}\,.

Passo 2

Escolha de convenção e equações a usar — explicação didática:
  • Vou tomar a direção vertical para cima como positiva. Assim, a aceleração devido à gravidade fica \,-g = -10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Para movimento com aceleração constante usamos estas fórmulas (são as fórmulas básicas de cinemática):
    • Lei da velocidade: \displaystyle v(t)=v_0 - g\,t.
      • Aqui \,v(t)\, é a velocidade no tempo \,t, \,v_0\, é a velocidade inicial e \,g\, é a aceleração da gravidade em módulo.
    • Lei do deslocamento (posição): \displaystyle y(t)=h_0 + v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2.
      • Aqui \,y(t)\, é a altura acima do solo no tempo \,t, \,h_0\, é a altura inicial.
  • Justificativa do método: essas fórmulas são as mais básicas e suficientes para todas as perguntas pedidas (tempo de subida, altura máxima, tempo de queda e velocidade ao atingir o solo). São fórmulas que se aplicam sem necessidade de calculadora e fáceis de manipular.

Passo 3

Tempo até a altura máxima — explicação e cálculo passo a passo:
  • Observação: no topo da subida a velocidade instantânea é nula: \,v=0.
  • Use a fórmula da velocidade para achar o tempo \,t_{\text{subida}}\, em que \,v(t)=0:
0 = v_0 - g\,t_{\text{subida}}
  • Isolando \,t_{\text{subida}}\,:
t_{\text{subida}} = \frac{v_0}{g}.
  • Substituindo os números (faça as contas mentalmente: 15\div10=1,5):
t_{\text{subida}} = \frac{15}{10} = 1,5\\ \mathrm{s}.
  • Interpretação: após \,1,5\\ \mathrm{s}\, o objeto para momentaneamente e começa a cair.

Passo 4

Altura máxima atingida — explicação de duas formas (vou usar a mais direta e também mostrar uma alternativa útil):
Método direto com deslocamento:
  • A altura máxima é \,y(t_{\text{subida}})\,. Use a fórmula da posição:
y_{\max} = h_0 + v_0 t_{\text{subida}} - \tfrac{1}{2} g t_{\text{subida}}^2.
  • Substituindo \,t_{\text{subida}}=1,5\\ \mathrm{s}, \,v_0=15\\ \mathrm{m/s}, \,h_0=20\\ \mathrm{m} e \,g=10\\ \mathrm{m/s^2}:
y_{\max} = 20 + 15\cdot 1,5 - \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot (1,5)^2.
  • Calcule passo a passo:
    • 15\cdot 1,5 = 22,5.
    • (1,5)^2 = 2,25.
    • \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 2,25 = 5\cdot 2,25 = 11,25.
y_{\max} = 20 + 22,5 - 11,25 = 31,25\\ \mathrm{m}.
Alternativa (fórmula de energia/cinemática que reduz contas): usar \,v^2 = v_0^2 - 2g(y-y_0)\, com v=0, que dá
y_{\max} = h_0 + \frac{v_0^2}{2g} = 20 + \frac{15^2}{2\cdot 10}=20+\frac{225}{20}=20+11,25=31,25\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: o objeto sobe mais 11,25\\ \mathrm{m} acima do topo do prédio, atingindo \,31,25\\ \mathrm{m} do solo.

Passo 5

Tempo total até atingir o solo — montar e resolver a equação do movimento:
  • O instante em que o objeto atinge o solo é o tempo \,t\ge0 tal que \,y(t)=0.
  • Escrevemos a equação:
0 = h_0 + v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2.
  • Substituindo números ( \tfrac{1}{2}g=5):
0 = 20 + 15 t - 5 t^2.
  • Reorganizando para forma padrão de quadrática:
-5 t^2 + 15 t + 20 = 0.
Multiplique por -1 para facilitar:
5 t^2 - 15 t - 20 = 0.
Divida tudo por 5:
t^2 - 3 t - 4 = 0.
  • Agora resolvemos a equação quadrática. Use a fórmula de Bhaskara ou fatoração. Vou usar Bhaskara (mostrando os passos):
t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-4)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}.
t = \frac{3 \pm 5}{2}.
  • Isso gera duas raízes:
    • t_1 = \dfrac{3+5}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\\ \mathrm{s}.
    • t_2 = \dfrac{3-5}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1\\ \mathrm{s} (descartar porque tempo negativo não faz sentido fisicamente neste problema).
  • Portanto o tempo total de voo até atingir o solo é \,t_{\text{solo}} = 4\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Velocidade ao atingir o solo — usar fórmula da velocidade ou conservação de energia:
Método pela fórmula da velocidade:
  • Use \,v(t)=v_0 - g t e avalie em t=4\\ \mathrm{s}:
v_{\text{impacto}} = 15 - 10\cdot 4 = 15 - 40 = -25\\ \mathrm{m/s}.
  • O sinal negativo indica que a velocidade está apontando para baixo no instante do impacto; o módulo (velocidade escalar) é \,25\\ \mathrm{m/s}.
    Verificação rápida por energia/cinemática (opcional): a queda total desde a altura máxima 31,25\\ \mathrm{m} para o solo dá \Delta h = 31,25\\ \mathrm{m}; aplicando v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y com v_0=0 na descida e a=-g recupera |v|=25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Resumo físico e interpretação (motivação para a prova):
  • O objeto sobe por 1,5\\ \mathrm{s} até atingir a altura máxima \,31,25\\ \mathrm{m}.
  • Depois de parar momentaneamente ele desce e atinge o solo em 4\\ \mathrm{s} desde o lançamento.
  • Ao atingir o solo está com velocidade de -25\\ \mathrm{m/s} (ou seja, 25\\ \mathrm{m/s} para baixo).
  • Observação prática: as contas foram feitas sem calculadora usando operações simples (divisões por 2 e quadrados pequenos), exatamente o tipo de raciocínio pedido em provas de cinemática.

Resposta

(a) Tempo até a altura máxima: 1,5\\ \mathrm{s}
(b) Altura máxima acima do solo: 31,25\\ \mathrm{m}
(c) Tempo até atingir o solo (tempo total de voo): 4\\ \mathrm{s}
(d) Velocidade ao atingir o solo: -25\\ \mathrm{m/s} (ou seja, velocidade escalar 25\\ \mathrm{m/s})

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