MRUV
A posição de um objeto é dada por S=5+10 t+2 t^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece a posição do objeto em função do tempo:
S(t)=5+10\,t+2\,t^{2}.
Como o enunciado não faz perguntas explícitas, vou responder os itens mais usuais em problemas de MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado): encontrar a velocidade instantânea v(t), a aceleração a(t), os valores iniciais S(0) e v(0), e interpretar fisicamente os coeficientes da expressão.

Passo 2

Conceito importante (rápido e prático): em cinemática unidimensional com S(t) dada, a velocidade instantânea v(t) é a derivada de S(t) em relação ao tempo t e a aceleração a(t) é a derivada de v(t) (ou a segunda derivada de S(t)). Em símbolos:
v(t)=\frac{dS}{dt},\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}S}{dt^{2}}.
Vou usar essa regra para obter as funções pedidas. Se não lembra bem derivadas, explico as regras que vou usar no próximo passo.

Passo 3

Regras de derivação que usarei (explicadinhas):
  • A derivada de uma constante é zero. Ex.: \dfrac{d}{dt}(5)=0.
  • A derivada de t em relação a t é 1. Ex.: \dfrac{d}{dt}(t)=1.
  • A derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.
Aplicando termo a termo à função \,S(t)=5+10t+2t^{2}:

Passo 4

Calcular a velocidade v(t)=\dfrac{dS}{dt}.
Derivando cada termo:
\frac{d}{dt}(5)=0, \qquad \frac{d}{dt}(10t)=10\cdot\frac{d}{dt}(t)=10\cdot 1=10, \qquad \frac{d}{dt}(2t^{2})=2\cdot\frac{d}{dt}(t^{2})=2\cdot(2t)=4t.
Somando os resultados:
v(t)=0+10+4t=10+4t.

Passo 5

Calcular a aceleração a(t)=\dfrac{dv}{dt} (ou \dfrac{d^{2}S}{dt^{2}}).
Derivando v(t)=10+4t:
\frac{d}{dt}(10)=0,\qquad \frac{d}{dt}(4t)=4.
Portanto
a(t)=0+4=4.
Isso significa que a aceleração é constante e igual a 4 (unidades de posição por tempo ao quadrado — por exemplo, se S está em metros e t em segundos, então a=4\\ \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 6

Encontrar os valores iniciais: S(0) e v(0).
Substituindo t=0 em S(t):
S(0)=5+10\cdot 0+2\cdot 0^{2}=5.
Substituindo t=0 em v(t):
v(0)=10+4\cdot 0=10.
Interpretação física rápida: S(0)=5 é a posição inicial (origem escolhida deslocada de 5 unidades) e v(0)=10 é a velocidade inicial.

Passo 7

Conclusão qualitativa sobre o movimento: como a(t) é constante ( a(t)=4), o movimento é realmente um MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado) com aceleração constante igual a 4. A expressão dada já está na forma canônica de um polinômio em t, em que o termo constante 5 é a posição inicial, o coeficiente do termo linear 10 está relacionado à velocidade inicial e o coeficiente do termo quadrático 2 determina a aceleração através de a=2\cdot 2.

Resposta

v(t)=10+4t
a(t)=4
S(0)=5
v(0)=10

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