Lapidus e colaboradores (1961) estudaram a dinâmica e controle de um absorvedor de 6 pratos controlado pela entrada da corrente de alimentação. Em seu trabalho, eles assumem uma relação de equilíbrio linear entre o liquido ( xm ) e o vapor ( ym ) em cada prato:
ym=a xm+b
As duas variáveis de controle são a composição de entrada do líquido u1=x0 e a composição de saída do vapor baru2=y7 ; baru2 tem uma composição equivalente a:
u2=baru2-ba
Um conjunto de para este sistema é
lll a=0.72 & H=1.0 kg & G=66,7 kg / min b=0 & h=75 kg & L=40,8 kg / min
h= retenção de líquido inerte em cada prato
H= retenção de vapor inerte em cada prato
L= vazão de líquido absorvente inerte
G= vazão da corrente de gás inerte
Resolva a composição do prato em estado estacionário ( xm ) quando (i) o líquido a alimentação é pura ( u1=0 ) e a alimentação de gás é 0,2 kg soluto/kg inerte ( u2=0,2 ) e (ii) a alimentação de líquido é pura e a alimentação de gás é de 0,3 kg de soluto/kg inerte. (Ver Exemplo de absorção dado em sala)

Passo 1

O enunciado trata de um absorvedor de 6 pratos, com equilíbrio linear em cada prato
ym=a,xm+b
e dois fluxos hidráulicos constantes: líquido descendente L com composição x e gás ascendente G com composição y.
As condições de contorno em regime estacionário são
;x0=u1 (alimentação de líquido) e
;y7=bar u2 (alimentação de gás), sendo
;b=0 e
;u2=(bar u2-b)/a=bar u2/a.
Vamos usar balanço de soluto em cada prato para obter uma recorrência em xm.

Passo 2

Em regime estacionário, no prato m temos entrada de soluto do gás G,ym+1 e do líquido L,xm-1 igual à saída G,ym+L,xm. Logo
G,ym+1+L,xm-1=G,ym+L,xm
Substituindo yk=a,xk e dividindo por L define-se R=G/L, obtendo-se
xm-1-xm = a,R,l(xm-xm+1r)

Passo 3

Reorganizando chega-se à equação de diferença de segunda ordem
xm+1-1+aRaR,xm+1aR,xm-1=0
A equação característica é
lambda^2-1+aRaR,lambda+1aR=0,
com raízes
lambda1=1 e lambda2=tfrac1aR.
Logo a solução geral é
xm = Al(tfrac1aRr)^m+B

Passo 4

Aplicando as condições de contorno
;x0=u1=0 e ;x7=u2/a, achamos
B=-A, A=-x71-(1/(aR))^7, B=x71-(1/(aR))^7
Substituindo em xm vem a fórmula prática
xm = x7,1-l(tfrac1aRr)^m1-l(tfrac1aRr)^7,
com ;x7=u2/a e ;R=G/L.

Passo 5

Dados numéricos:
;a=0,72,;G=66,7;/min,;L=40,8;/min, logo
;R=G/L=1,635 e
;beta=tfrac1aR=0,8495.
Denominador comum
1-beta^7=1-0,8495^7=1-0,3190=0,6810
(i) ;u1=0,;bar u2=0,2implies x7=0,2/0,72=0,2778
Coeficiente C=x7/(1-beta^7)=0,2778/0,6810=0,4080 xm=0,4080l(1-0,8495^mr).
Cálculo para m=1,dots,6:
x1=0,0614,;x2=0,1135,;x3=0,1581,;x4=0,1958,;x5=0,2276,;x6=0,2548
(ii) ;u1=0,;bar u2=0,3implies x7=0,3/0,72=0,4167
Coeficiente C=x7/0,6810=0,6120 xm=0,6120l(1-0,8495^mr).
Cálculo para m=1,dots,6:
x1=0,0921,;x2=0,1704,;x3=0,2372,;x4=0,2938,;x5=0,3417,;x6=0,3819

Resposta

Caso (i) bar u2=0,2:
x1=0,0614,;x2=0,1135,;x3=0,1581,;x4=0,1958,;x5=0,2276,;x6=0,2548
Caso (ii) bar u2=0,3:
x1=0,0921,;x2=0,1704,;x3=0,2372,;x4=0,2938,;x5=0,3417,;x6=0,3819

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