Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são dados pelas funções V1(t) = 250t³ - 100t + 3000 e V2(t) = 150t³ + 69t + 3000. Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é IGUAL ao do outro no instante t=0 e, também, no tempo t igual a?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre reservatórios de leite que são abastecidos por torneiras. O volume de leite em cada reservatório depende do tempo que as torneiras ficam abertas. As funções que descrevem os volumes são $ V_1(t) = 250t^3 - 100t + 3000 $ e $ V_2(t) = 150t^3 + 69t + 3000 $. Queremos descobrir em que momentos, além de $ t = 0 $, os volumes dos dois reservatórios são iguais. Vamos usar equações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, para encontrar quando os volumes são iguais, a gente iguala as duas funções:
V1(t) = V2(t)
Então, substituindo as funções:
250t^3 - 100t + 3000 = 150t^3 + 69t + 3000

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação. Vamos trazer todos os termos para um lado:
250t^3 - 100t + 3000 - 150t^3 - 69t - 3000 = 0
Simplificando os termos semelhantes:
(250t^3 - 150t^3) + (-100t - 69t) + (3000 - 3000) = 0
100t^3 - 169t = 0

Passo 4

Agora, vamos fatorar a equação:
t(100t^2 - 169) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ t = 0 $
  2. $ 100t^2 - 169 = 0 $

Passo 5

Já sabemos que $ t = 0 $ é uma solução, mas queremos encontrar os outros momentos. Vamos resolver a segunda equação:
t = 0
Isolando $ t^2 $:
100t^2 - 169 = 0
t^2
100t^2 = 169
t^2 = 169100
t = raiz169100

Resposta

Além de $ t = 0 $, os volumes dos dois reservatórios são iguais após 1,3 horas.

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