Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são dados pelas funções V1(t) = 250t³ - 100t + 3000 e V2(t) = 150t³ + 69t + 3000. Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é IGUAL ao do outro no instante t=0 e, também, no tempo t igual a?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre reservatórios de leite que são abastecidos por torneiras. O volume de leite em cada reservatório depende do tempo que as torneiras ficam abertas. As funções que descrevem os volumes são $ V_1(t) = 250t^3 - 100t + 3000 $ e $ V_2(t) = 150t^3 + 69t + 3000 $. Queremos descobrir em que momentos, além de $ t = 0 $, os volumes dos dois reservatórios são iguais. Vamos usar equações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, para encontrar quando os volumes são iguais, a gente iguala as duas funções:
Então, substituindo as funções:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação. Vamos trazer todos os termos para um lado:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, vamos fatorar a equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ t = 0 $
- $ 100t^2 - 169 = 0 $
Passo 5
Já sabemos que $ t = 0 $ é uma solução, mas queremos encontrar os outros momentos. Vamos resolver a segunda equação:
Isolando $ t^2 $:
Resposta
Além de $ t = 0 $, os volumes dos dois reservatórios são iguais após 1,3 horas.