Para a(n)=\left(n^{2}-2\right)[u(n+2)-u(n-4)] e b(n)=\left(n^{2}+2\right)[u(n+4)- u(n-2)], determine:
d(n)=2 \cdot a(n)+3 \cdot b(n)

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Foram dadas as sequências
a(n)=\left(n^{2}-2\right)\bigl[u(n+2)-u(n-4)\bigr]
e
b(n)=\left(n^{2}+2\right)\bigl[u(n+4)-u(n-2)\bigr],
e pede-se calcular
d(n)=2\cdot a(n)+3\cdot b(n).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As fórmulas explícitas de a(n) e b(n).
  • A função u(\cdot) é a função degrau unitário discreta (ou seja, u(k)=1 se k\ge 0 e u(k)=0 se k<0).
  • O objetivo é obter d(n) para todo n.

Passo 2

Entendendo o suporte de a(n). A expressão u(n+2)-u(n-4) é igual a 1 quando ambas as condições se cumprem:
n+2\ge 0\quad\text{e}\quad n-4<0.
Essas condições equivalem a
n\ge -2\quad\text{e}\quad n<4,
ou seja, n\in\{-2,-1,0,1,2,3\}. Portanto a(n) é não nula somente para n=-2,-1,0,1,2,3; fora desses valores a(n)=0.

Passo 3

Entendendo o suporte de b(n). A expressão u(n+4)-u(n-2) é igual a 1 quando
n+4\ge 0\quad\text{e}\quad n-2<0,
que equivale a
n\ge -4\quad\text{e}\quad n<2,
ou seja, n\in\{-4,-3,-2,-1,0,1\}. Portanto b(n) é não nula somente para n=-4,-3,-2,-1,0,1; fora desses valores b(n)=0.

Passo 4

Intersecção e união dos suportes. A intersecção (onde ambos existem) é
\{-2,-1,0,1\}.
A união (onde pelo menos um existe) é
\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\},
ou seja, todos os inteiros de -4 até 3. Fora desse intervalo ambos são zero, logo d(n)=0 para n\notin\{-4,\dots,3\}.

Passo 5

Escrever d(n) na forma direta antes de simplificar:
d(n)=2\bigl(n^{2}-2\bigr)\bigl[u(n+2)-u(n-4)\bigr]+3\bigl(n^{2}+2\bigr)\bigl[u(n+4)-u(n-2)\bigr].
Agora avaliaremos d(n) separadamente nas três regiões relevantes: (i) onde só b contribui, (ii) onde ambos contribuem, (iii) onde só a contribui.

Passo 6

Região onde só b contribui: n\in\{-4,-3\}. Nesses n temos u(n+4)-u(n-2)=1 e u(n+2)-u(n-4)=0. Logo
d(n)=3\bigl(n^{2}+2\bigr),\qquad n=-4,-3.

Passo 7

Região de sobreposição onde ambos contribuem: n\in\{-2,-1,0,1\}. Soma direta:
d(n)=2\bigl(n^{2}-2\bigr)+3\bigl(n^{2}+2\bigr).
Fazendo a álgebra termo a termo:
d(n)=2n^{2}-4+3n^{2}+6=5n^{2}+2,\qquad n=-2,-1,0,1.

Passo 8

Região onde só a contribui: n\in\{2,3\}. Nesses n temos u(n+2)-u(n-4)=1 e u(n+4)-u(n-2)=0. Logo
d(n)=2\bigl(n^{2}-2\bigr),\qquad n=2,3.

Passo 9

Região fora da união dos suportes: para n\notin\{-4,-3,\dots,3\} tanto a(n)=0 quanto b(n)=0, então
d(n)=0.

Resposta

d(n)=3\bigl(n^{2}+2\bigr),\quad n=-4,-3
d(n)=5n^{2}+2,\quad n=-2,-1,0,1
d(n)=2\bigl(n^{2}-2\bigr),\quad n=2,3
d(n)=0,\quad\text{para todo }n\notin\{-4,-3,\dots,3\}

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