Considere o sinal x(n)=u(n-1)-u(n-5). Esboce cada um dos seguintes sinais:
x(n) u(2-n)

Passo 1

O enunciado dá o sinal discreto
x(n)=u(n-1)-u(n-5)
e pede para esboçar o sinal produto
x(n)\,u(2-n).
Informações relevantes fornecidas:
  • x(n) é definido pela diferença de dois degraus unitários deslocados: u(n-1) e u(n-5).
  • O objetivo é obter (e esboçar) o valor de x(n)\,u(2-n) para todos os n\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Relembrando o que é o degrau unitário e como interpretar deslocamentos (mini-aula):
  • Definição padrão do degrau unitário: \;u(n)=\begin{cases}1,& n\ge 0,\\\ 0,& n<0.\end{cases}Vou assumir a convenção comum \;u(0)=1.
  • Um deslocamento \;u(n-k) vale 1 sempre que n-k\ge 0, isto é, para n\ge k; vale 0 para n<k.
  • Exemplo simples: \;u(n-1)=1 para n\ge 1; \;u(n-5)=1 para n\ge 5.

Passo 3

Analisar x(n)=u(n-1)-u(n-5) passo a passo:
  • Para n\le 0: \;u(n-1)=0 e \;u(n-5)=0 então \;x(n)=0.
  • Para n=1,2,3,4:
    • \;u(n-1)=1 (porque n\ge1),
    • \;u(n-5)=0 (porque n<5),
    • logo \;x(n)=1-0=1.
  • Para n\ge 5: \;u(n-1)=1 e \;u(n-5)=1, então \;x(n)=0.
    Conclusão: x(n) é um pulso discreto de amplitude 1 para n=1,2,3,4 e zero em outros n. Em notação:
x(n)=\begin{cases} 1,& n=1,2,3,4,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 4

Analisar o outro fator \;u(2-n):
  • Usando a definição: \;u(2-n)=1 quando 2-n\ge 0, isto é, quando n\le 2; e \;u(2-n)=0 quando n\ge 3.
  • Em particular, para n=2 tem-se \;u(2-2)=u(0)=1.
    Interpretação verbal: \;u(2-n) é um “degrau à esquerda”: vale 1 para todos os inteiros até 2 inclusive, e 0 para inteiros maiores que 2.

Passo 5

Calcular o produto \;x(n)\,u(2-n) usando as regiões encontradas:
  • x(n) é não nulo apenas em n=1,2,3,4.
  • u(2-n) é não nulo apenas para n\le 2.
    O produto será não nulo apenas na interseção dessas regiões: n\in\{1,2\}.
    Para esses pontos:
  • n=1: x(1)=1, u(2-1)=u(1)=1 → produto =1.
  • n=2: x(2)=1, u(2-2)=u(0)=1 → produto =1.
    Para todo outro n o produto é zero.
    Portanto
x(n)\,u(2-n)=\begin{cases} 1,& n=1,2,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 6

Formas alternativas e como esboçar na prova (dica prática):
  • Representação como soma de deltas de Kronecker: x(n)\,u(2-n)=\delta(n-1)+\delta(n-2),onde \delta(\cdot) é o impulso discreto com \delta(0)=1 e \delta(k)=0 para k\ne0.
  • Para esboçar: desenhe um eixo discreto (valores inteiros de n), coloque um “stem” (ponto com haste) de amplitude 1 em n=1 e outro em n=2; nenhum outro ponto diferente de zero.

Resposta

x(n)\,u(2-n)=\begin{cases} 1,& n=1,2,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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