\left(0,5\right. ponto) Resolva a seguinte equação diferencial linear de 1^{a} ordem:
y^{\prime}+y=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' + y = e^{2x}
e pede que a gente a resolva — ou seja, encontre a solução geral y(x) que satisfaz essa igualdade para todo x (com uma constante arbitrária de integração).

Passo 2

Vamos usar um método prático para equações lineares de primeira ordem. Considere a forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x).
A ideia é multiplicar a equação por um fator \mu(x) (chamado fator integrante) escolhido de modo que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(x)y. O fator integrante é dado por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Explicando por que isso funciona: se \mu satisfaz \mu'=\mu P, então, usando a regra do produto,
(\mu y)'=\mu y' + \mu' y = \mu y' + \mu P y = \mu\big(y' + P y\big).
Assim, multiplicando a equação original por \mu obtemos (\mu y)'=\mu Q, que é fácil de integrar.

Passo 3

No nosso problema temos P(x)=1 e Q(x)=e^{2x}. Então o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Aqui \int 1\,dx=x (mais uma constante, mas podemos incorporá‑la depois na constante de integração final).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x}. Isso dá
e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}e^{2x}.
Pelo passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}y, porque (e^{x})' = e^{x}. Então obtemos
\big(e^{x}y\big)' = e^{3x}.
Observação: eu usei que e^{x}e^{2x}=e^{3x} pela propriedade dos expoentes.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{x}y\big)' \,dx = \int e^{3x}\,dx.
No lado esquerdo a integral da derivada recupera e^{x}y. No direito, a integral de e^{3x} é \dfrac{1}{3}e^{3x}. Assim
e^{x}y = \frac{1}{3}e^{3x} + C,
onde C é a constante de integração (um número real qualquer).

Passo 6

Finalmente isolamos y dividindo por e^{x}:
y = \frac{1}{3}e^{3x} \cdot e^{-x} + C e^{-x} = \frac{1}{3}e^{2x} + C e^{-x}.
Essa é a solução geral; C é a constante arbitrária que aparece em toda solução geral de uma EDO de primeira ordem.

Passo 7

Pequena checagem (útil na prova): derivando
y' = \frac{2}{3}e^{2x} - C e^{-x}.
Somando y' + y obtemos
\left(\frac{2}{3}e^{2x} - C e^{-x}\right) + \left(\frac{1}{3}e^{2x} + C e^{-x}\right) = e^{2x},
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação original.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{3}e^{2x}+C e^{-x}

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