ponto) Resolva a seguinte equação diferencial linear de
ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a gente a resolva — ou seja, encontre a solução geral
que satisfaz essa igualdade para todo
(com uma constante arbitrária de integração).
Passo 2
Vamos usar um método prático para equações lineares de primeira ordem. Considere a forma padrão
A ideia é multiplicar a equação por um fator
(chamado fator integrante) escolhido de modo que o lado esquerdo vire a derivada de
. O fator integrante é dado por
Explicando por que isso funciona: se
satisfaz
, então, usando a regra do produto,
Assim, multiplicando a equação original por
obtemos
, que é fácil de integrar.
Passo 3
No nosso problema temos
e
. Então o fator integrante é
Aqui
(mais uma constante, mas podemos incorporá‑la depois na constante de integração final).
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá
Pelo passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto
, porque
. Então obtemos
Observação: eu usei que
pela propriedade dos expoentes.
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo a integral da derivada recupera
. No direito, a integral de
é
. Assim
onde
é a constante de integração (um número real qualquer).
Passo 6
Finalmente isolamos
dividindo por
:
Essa é a solução geral;
é a constante arbitrária que aparece em toda solução geral de uma EDO de primeira ordem.
Passo 7
Pequena checagem (útil na prova): derivando
Somando
obtemos
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação original.