Use o Teorema de Stokes para calcular
ou
, o que for mais fácil.
é a fronteira do sólido limitado pelo hiperboloide de uma folha
,
apontando para baixo na parte inferior.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
ou o integral de linha equivalente, onde estão dadas as seguintes informações:
- A superfície
é a fronteira (superfície fechada) do sólido limitado pelas superfícies com a restrição . Ou seja, o sólido é o “fatia” do hiperboloide de uma folha entre os planos e . - A superfície
é composta por três partes: a casca lateral (o trecho do hiperboloide entre e ), o disco superior em e o disco inferior em . O enunciado diz que a normal aponta para baixo na parte inferior (isso dá uma orientação consistente da superfície fechada). - O campo vetorial é
O que temos de responder é o valor do integral de superfície do rotacional de
sobre
, ou equivalentemente (pela Teorema de Stokes) o integral de linha de
ao longo da fronteira
de
.
Passo 2
Vou lembrar a forma útil do Teorema de Stokes (forma que liga rotacional a integral de contorno):
Aqui:
-
é o rotacional (curl) de , -
é a normal orientada da superfície , -
é a curva limite (fronteira) de , com a orientação correspondente pela regra da mão direita.
Esta fórmula diz: o fluxo do rotacional através de uma superfície é igual ao trabalho de
ao longo da curva que é a borda dessa superfície.
Passo 3
Observar um fato geométrico importante: a superfície
dada é a fronteira de um sólido (foi dito explicitamente “
é a fronteira do sólido limitado por …”). Isso significa que
é uma superfície fechada, sem borda: a borda de
é o conjunto vazio. Em símbolos:
Pelo Teorema de Stokes, aplicando-o à superfície fechada
,
Mas como
, a integral de linha no lado direito é a integral sobre uma curva vazia, ou seja
Portanto, diretamente obtemos
Esta é a razão principal e simples: o rotacional integrado sobre uma superfície fechada dá zero quando aplicado através do Teorema de Stokes, porque não há curva limite.
Passo 4
Vou dar uma explicação intuitiva e pedagógica do porquê isso faz sentido: Stokes relaciona circulação (integral de linha) numa curva à soma dos “pequenos giros” (rotacional) em toda a superfície que a curva limita. Se a superfície não tem borda (é fechada), não há curva para medir circulação — toda curva que aparece como borda de uma parte da superfície aparece também com orientação oposta como borda de outra parte, e as circulações se cancelam. O resultado limpo é zero.
Passo 5
Breve nota técnica (para não ficar com dúvida): o uso do Teorema de Stokes costuma exigir que
seja razoavelmente suave (por exemplo
) na região considerada. Aqui
tem componente
, que tem derivadas não definidas no ponto
em termos das derivadas parciais nas variáveis
(especialmente na linha
). Mesmo assim, a conclusão geométrica de que
implica que a integral de linha ao longo da borda é zero; e, se quisermos justificar o uso estrito do teorema, poderíamos excluir um pequeno tubo em torno da linha
, aplicar Stokes nas partes restantes (onde
é suave) e deixar o raio do tubo tender a zero — o contributo da fronteira interna tende a zero ou cancela, conduzindo ao mesmo resultado. Para propósitos de cálculo e desta questão de prova, a observação geométrica que a superfície é fechada é o argumento que se espera.
Passo 6
Resumo final do raciocínio prático para a prova (passo a passo curto que dá para escrever rápido na hora da prova):
- Identificar que
é a fronteira de um sólido ⇒ é superfície fechada ⇒ . - Aplicar Teorema de Stokes:
. - Como
, a integral de linha é . Logo a integral de superfície é .