Use o Teorema de Stokes para calcular ∬_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \bullet d \vec{S} ou ∫_{C} \vec{F} \bullet d \vec{r}, o que for mais fácil.
S é a fronteira do sólido limitado pelo hiperboloide de uma folha x^{2}+y^{2}-z^{2}=4, z=0, z=2, z<2, \vec{n} apontando para baixo na parte inferior.
\vec{F}(x, y, z)=z^{2} y \vec{i}+(x-z) \vec{j}+\sqrt{x^{2}+y^{2}} \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S} \operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}
ou o integral de linha equivalente, onde estão dadas as seguintes informações:
  • A superfície S é a fronteira (superfície fechada) do sólido limitado pelas superfícies x^{2}+y^{2}-z^{2}=4,\qquad z=0,\qquad z=2,com a restrição z\le 2. Ou seja, o sólido é o “fatia” do hiperboloide de uma folha entre os planos z=0 e z=2.
  • A superfície S é composta por três partes: a casca lateral (o trecho do hiperboloide entre z=0 e z=2), o disco superior em z=2 e o disco inferior em z=0. O enunciado diz que a normal \vec{n} aponta para baixo na parte inferior (isso dá uma orientação consistente da superfície fechada).
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=z^{2}y\,\vec{i}+(x-z)\,\vec{j}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,\vec{k}.
O que temos de responder é o valor do integral de superfície do rotacional de \vec{F} sobre S, ou equivalentemente (pela Teorema de Stokes) o integral de linha de \vec{F} ao longo da fronteira \partial S de S.

Passo 2

Vou lembrar a forma útil do Teorema de Stokes (forma que liga rotacional a integral de contorno):
\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Aqui:
  • \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F},
  • \vec{n} é a normal orientada da superfície S,
  • \partial S é a curva limite (fronteira) de S, com a orientação correspondente pela regra da mão direita.
Esta fórmula diz: o fluxo do rotacional através de uma superfície é igual ao trabalho de \vec{F} ao longo da curva que é a borda dessa superfície.

Passo 3

Observar um fato geométrico importante: a superfície S dada é a fronteira de um sólido (foi dito explicitamente “ S é a fronteira do sólido limitado por …”). Isso significa que S é uma superfície fechada, sem borda: a borda de S é o conjunto vazio. Em símbolos:
\partial S=\varnothing.
Pelo Teorema de Stokes, aplicando-o à superfície fechada S,
\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Mas como \partial S=\varnothing, a integral de linha no lado direito é a integral sobre uma curva vazia, ou seja
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.
Portanto, diretamente obtemos
\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS = 0.
Esta é a razão principal e simples: o rotacional integrado sobre uma superfície fechada dá zero quando aplicado através do Teorema de Stokes, porque não há curva limite.

Passo 4

Vou dar uma explicação intuitiva e pedagógica do porquê isso faz sentido: Stokes relaciona circulação (integral de linha) numa curva à soma dos “pequenos giros” (rotacional) em toda a superfície que a curva limita. Se a superfície não tem borda (é fechada), não há curva para medir circulação — toda curva que aparece como borda de uma parte da superfície aparece também com orientação oposta como borda de outra parte, e as circulações se cancelam. O resultado limpo é zero.

Passo 5

Breve nota técnica (para não ficar com dúvida): o uso do Teorema de Stokes costuma exigir que \vec{F} seja razoavelmente suave (por exemplo \mathcal{C}^{1}) na região considerada. Aqui \vec{F} tem componente \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que tem derivadas não definidas no ponto (0,0,z) em termos das derivadas parciais nas variáveis x,y (especialmente na linha x=y=0). Mesmo assim, a conclusão geométrica de que \partial S=\varnothing implica que a integral de linha ao longo da borda é zero; e, se quisermos justificar o uso estrito do teorema, poderíamos excluir um pequeno tubo em torno da linha x=y=0, aplicar Stokes nas partes restantes (onde \vec{F} é suave) e deixar o raio do tubo tender a zero — o contributo da fronteira interna tende a zero ou cancela, conduzindo ao mesmo resultado. Para propósitos de cálculo e desta questão de prova, a observação geométrica que a superfície é fechada é o argumento que se espera.

Passo 6

Resumo final do raciocínio prático para a prova (passo a passo curto que dá para escrever rápido na hora da prova):
  1. Identificar que S é a fronteira de um sólido ⇒ S é superfície fechada ⇒ \partial S=\varnothing.
  2. Aplicar Teorema de Stokes: \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}=\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
  3. Como \partial S=\varnothing, a integral de linha é 0. Logo a integral de superfície é 0.

Resposta

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