Se A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & -1 & 0\end{array}\right) e f(x)=x^{2}-x-1, calcule f\left(-\frac{1}{\operatorname{det} A}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 3 & 1 & 2\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}
e a função f(x)=x^{2}-x-1. Pede-se f\bigl(-1/\det A\bigr). Precisamos calcular \det A e em seguida avaliar f em x=-1/\det A.

Passo 2

Vamos calcular \det A por expansão na primeira linha:
\det A =2\begin{vmatrix}1 & 2\\\ -1 & 0\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}3 & 2\\\ 1 & 0\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}3 & 1\\\ 1 & -1\end{vmatrix}.
Agora cada menor:
\begin{vmatrix}1 & 2\\\ -1 & 0\end{vmatrix} =1\cdot0 - 2\cdot(-1)=2, \quad \begin{vmatrix}3 & 2\\\ 1 & 0\end{vmatrix} =3\cdot0 - 2\cdot1=-2, \quad \begin{vmatrix}3 & 1\\\ 1 & -1\end{vmatrix} =3\cdot(-1)-1\cdot1=-4.
Logo
\det A = 2\cdot2 -1\cdot(-2) +1\cdot(-4) =4 +2 -4=2.

Passo 3

Temos -1/\det A=-1/2. Logo
f\bigl(-\tfrac12\bigr) =\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2} -\bigl(-\tfrac12\bigr) -1 =\tfrac14 + \tfrac12 -1 =-\tfrac14.

Resposta

-\tfrac14

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