\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=\cos t \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y = \cos t,\quad y(0)=0,\;y'(0)=-1.
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante. Para resolver, vamos encontrar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma particular e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y_h'' + y_h = 0,
cuja equação característica é \lambda^2+1=0, com raízes \lambda=\pm i. Logo
y_h(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Como o termo forçante é \cos t, que é solução da homogênea, há ressonância e a forma correta do palpite é
y_p(t)=a\,t\sin t.
Calculando derivadas,
y_p' = a\sin t + a\,t\cos t, \qquad y_p'' = 2a\cos t - a\,t\sin t.
Substituindo em y_p''+y_p=\cos t
(2a\cos t - a\,t\sin t) + (a\,t\sin t) = 2a\cos t = \cos t
logo 2a=1 e a=\tfrac12. Portanto
y_p(t)=\tfrac12\,t\sin t.

Passo 4

A solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=A\cos t + B\sin t + \tfrac12\,t\sin t.

Passo 5

Calculamos a derivada
y'(t)=-A\sin t + B\cos t + \tfrac12\sin t + \tfrac12\,t\cos t.
Impondo y(0)=0 e y'(0)=-1:
y(0)=A=0, \qquad y'(0)=B=-1.
Assim A=0 e B=-1.

Resposta

y(t)= -\sin t + \tfrac12\,t\sin t =\Bigl(\tfrac t2 -1\Bigr)\sin t.

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