\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=9 t \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=7\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea
\;y'' + 4y = 9t,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=7.
O método que vamos usar é: primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada, depois um particular da não homogênea (usando coeficientes a determinar) e finalmente ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
\;y'' + 4y = 0.
A equação característica é
\;r^2 + 4 = 0\;\Longrightarrow\;r = \pm 2i.
Logo a solução geral homogênea é
\;y_h(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t).

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 em t, tentamos
\;y_p(t) = At + B.
Derivando, y_p''(t)=0. Substituindo em y''+4y=9t
\;0 + 4(At+B) = 9t\;\Longrightarrow\;4A\,t + 4B = 9t.
Comparando coeficientes de t e termos constantes obtemos
\;4A = 9\quad\Rightarrow\;A = \tfrac{9}{4},\qquad4B = 0\quad\Rightarrow\;B=0.
Portanto
\;y_p(t) = \frac{9}{4}\,t.

Passo 4

A solução geral da EDO é
\;y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t) + \frac{9}{4}t.
Usamos y(0)=0:
\;y(0)=C_1\cdot1 + C_2\cdot0 + 0 = C_1 = 0.
Agora derivamos:
\;y'(t) = -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) + \tfrac{9}{4} = 2C_2\cos(2t) + \tfrac{9}{4},
e aplicamos y'(0)=7:
\;y'(0)=2C_2\cdot1 + \tfrac{9}{4} = 7 \;\Longrightarrow\;2C_2 = 7 - \tfrac{9}{4} = \tfrac{19}{4} \;\Longrightarrow\;C_2 = \tfrac{19}{8}.

Resposta

\boxed{y(t) = \frac{19}{8}\,\sin(2t) + \frac{9}{4}\,t.}

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