\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=5 e^{-t} \operatorname{sen}(2 t) \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

Temos a EDO linear não homogênea
y'' + y' - 2y = 5e^{-t}\sin(2t),
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.
O conteúdo é resolução de equação linear com coeficientes constantes pelo método das soluções homogênea e particular.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y'' + y' - 2y = 0
montamos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0
cuja solução é
r = 1,\quad r=-2.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t}.

Passo 3

Para a particular, usamos o ansatz
y_p(t) = e^{-t}\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr).
Calculamos as derivadas:
y_p' = e^{-t}\bigl[(-A+2B)\cos(2t)+(-B-2A)\sin(2t)\bigr],
y_p'' = e^{-t}\bigl[(-(-A+2B)+2(-B-2A))\cos(2t)+(-(-B-2A)-2(-A+2B))\sin(2t)\bigr].

Passo 4

Substituindo y_p,y_p',y_p'' em y''+y'-2y e igualando a 5e^{-t}\sin(2t) obtemos o sistema para A,B:
2\bigl(D - A\bigr)\cos(2t)-2\bigl(C + B\bigr)\sin(2t) =5\sin(2t),
onde C=-A+2B e D=-B-2A.
Disto vem
D=A, \quad C+B=-\tfrac52.
Resolvendo:
A=\tfrac14,\qquad B=-\tfrac34.

Passo 5

A solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =C_1e^{t}+C_2e^{-2t} +e^{-t}\Bigl(\tfrac14\cos(2t)-\tfrac34\sin(2t)\Bigr).

Passo 6

Impondo y(0)=1 e y'(0)=0:
y(0)=C_1+C_2+\tfrac14=1 \;\Rightarrow\; C_1+C_2=\tfrac34,
y'(0)=C_1-2C_2+y_p'(0)=0,
onde
y_p'(0)=(-A+2B)\bigl|_{A=1/4,B=-3/4}=-\tfrac74.
Logo
C_1-2C_2=\tfrac74.

Passo 7

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1+C_2=\tfrac34,\\\ C_1-2C_2=\tfrac74, \end{cases}
obtém-se
C_1=\tfrac{13}{12}, \quad C_2=-\tfrac13.

Resposta

\boxed{y(t) =\frac{13}{12}e^{t}-\frac13e^{-2t} +e^{-t}\Bigl(\tfrac14\cos(2t)-\tfrac34\sin(2t)\Bigr). }

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