Cada integral iterada representa o volume de um sólido. Faça um esboço do sólido. (Não é preciso calcular o volume.)
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
que representa o volume do sólido situado sob a superfície
e acima da região de projeção no plano
, que é o retângulo
Conteúdo envolvido: volume por integração dupla, reconhecimento de semiesfera e região de projeção.
Passo 2
A superfície
vem da metade superior da esfera de raio
centrada na origem, pois a esfera é dada por
e aqui tomamos
. Logo, geometricamente, estamos olhando para uma semiesfera “de teto”.
Passo 3
A projeção no plano
é o retângulo cujos vértices são
Como no canto mais afastado
vale
todo o retângulo fica dentro do círculo de raio
, de modo que
está bem definida sobre toda essa região.
Passo 4
Para esboçar o sólido:
- Desenhe um sistema de eixos tridimensionais com
apontando para a direita, para dentro da página e para cima. - No plano
, trace o retângulo . - Em cada ponto desse retângulo, eleve uma “haste” vertical até tocar a semiesfera de raio
. - Una suavemente o topo dessas hastes, desenhando a superfície esférica cortada sobre o retângulo.
Resposta
Segue um esboço qualitativo do sólido:
z
↑
| . - ~ ~ ~ - .
| . ' ' .
| . ' ' .
| . . ← semiesfera
| . .
| . .
| . .
|/_________________________________\→ y
(0,0,0)───(3,0,0)────────────(3,4,0)
↘
x
Nesse desenho, o retângulo no plano
é a base, e a “cúpula” sobre ele é a parte superior da esfera de raio
.