Cada integral iterada representa o volume de um sólido. Faça um esboço do sólido. (Não é preciso calcular o volume.)
\int_{0}^{3} \int_{0}^{4} \sqrt{25-x^{2}-y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{0}^{3}\int_{0}^{4}\sqrt{25 - x^{2} - y^{2}}\;dy\;dx
que representa o volume do sólido situado sob a superfície
z = \sqrt{25 - x^{2} - y^{2}}
e acima da região de projeção no plano xy, que é o retângulo
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 3,\;0 \le y \le 4\}.
Conteúdo envolvido: volume por integração dupla, reconhecimento de semiesfera e região de projeção.

Passo 2

A superfície
z = \sqrt{25 - x^{2} - y^{2}}
vem da metade superior da esfera de raio 5 centrada na origem, pois a esfera é dada por
x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25
e aqui tomamos z\ge0. Logo, geometricamente, estamos olhando para uma semiesfera “de teto”.

Passo 3

A projeção no plano xy é o retângulo cujos vértices são
(0,0),\;(3,0),\;(3,4),\;(0,4).
Como no canto mais afastado (3,4) vale
3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25,
todo o retângulo fica dentro do círculo de raio 5, de modo que \sqrt{25 - x^{2} - y^{2}} está bem definida sobre toda essa região.

Passo 4

Para esboçar o sólido:
  1. Desenhe um sistema de eixos tridimensionais com x apontando para a direita, y para dentro da página e z para cima.
  2. No plano xy, trace o retângulo 0\le x\le3,\;0\le y\le4.
  3. Em cada ponto desse retângulo, eleve uma “haste” vertical até tocar a semiesfera de raio 5.
  4. Una suavemente o topo dessas hastes, desenhando a superfície esférica cortada sobre o retângulo.

Resposta

Segue um esboço qualitativo do sólido:
      z
      ↑
      |             . - ~ ~ ~ - .
      |         . '             ' .
      |      . '                   ' .
      |    .                         .    ← semiesfera
      |   .                           .
      |  .                             .
      | .                               .
      |/_________________________________\→ y
     (0,0,0)───(3,0,0)────────────(3,4,0)
     ↘
       x
Nesse desenho, o retângulo no plano xy é a base, e a “cúpula” sobre ele é a parte superior da esfera de raio 5.

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