\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime}=\operatorname{senh} t \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'''-4y'=\operatorname{sinh} t,\quad y(0)=0,\;y'(0)=0,\;y''(0)=0.
Este é um EDO linear de coeficientes constantes. Vamos obter a solução geral como
y(t)=y_h(t)+y_p(t),
onde y_h é a solução da homogênea e y_p uma particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'''-4y'=0.
A equação característica é
r^3-4r=r(r^2-4)=0,
cujo conjunto de raízes é \{0,2,-2\}. Logo
y_h(t)=C_1 + C_2e^{2t} + C_3e^{-2t}.

Passo 3

Para achar y_p, note que o termo não-homogêneo é \operatorname{sinh} t=\tfrac{e^t-e^{-t}}2. Portanto proponha
y_p(t)=A e^t + B e^{-t}.
Calculando as derivadas,
y_p' = A e^t - B e^{-t},\quad y_p'' = A e^t + B e^{-t},\quad y_p'''=A e^t - B e^{-t}.
Substituindo em y_p'''-4y_p'=\operatorname{sinh} t
(A-4A)e^t +(-B+4B)e^{-t} =-3A\,e^t+3B\,e^{-t} =\tfrac{e^t}{2}-\tfrac{e^{-t}}{2}.
Igualando coeficientes,
-3A=\tfrac12,\quad3B=-\tfrac12 \;\Longrightarrow\; A=-\tfrac16,\;B=-\tfrac16.
Assim
y_p(t)=-\tfrac16(e^t+e^{-t})=-\tfrac13\operatorname{cosh} t.

Passo 4

A solução geral é
y(t)=C_1 + C_2e^{2t}+C_3e^{-2t}-\tfrac13\operatorname{cosh} t.

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
  1. y(0)=0
C_1+C_2+C_3-\tfrac13=0 \;\Longrightarrow\; C_1+C_2+C_3=\tfrac13.
  1. Calculando
y'(t)=2C_2e^{2t}-2C_3e^{-2t}-\tfrac13\operatorname{sinh} t,
temos y'(0)=0 implica
2C_2-2C_3=0 \;\Longrightarrow\; C_2=C_3.
  1. Calculando
y''(t)=4C_2e^{2t}+4C_3e^{-2t}-\tfrac13\operatorname{cosh} t,
temos y''(0)=0 implica
4(C_2+C_3)-\tfrac13=0 \;\Longrightarrow\; C_2+C_3=\tfrac1{12}.

Passo 6

De C_2=C_3 e 2C_2=\tfrac1{12} segue
C_2=C_3=\tfrac1{24}, \quad C_1=\tfrac13-(C_2+C_3)=\tfrac13-\tfrac1{12}=\tfrac14.

Resposta

y(t)=\tfrac14+\tfrac1{12}\operatorname{cosh}(2t)-\tfrac13\operatorname{cosh} t.

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