Uma V.A.C. X com f.d.p: f(x)=\left\{\begin{array}{c}k, \quad 0 \leq x \leq 2 \\\ k(x-1), 2<x \leq 4 \\\\ 0, \quad \text { p.o.v }\end{array}\right.
a)Determine o valor de k e calcule \mathrm{E}(\mathrm{X}), \mathrm{V}(\mathrm{X}) e \sigma(\mathrm{X}).
k=1 / 6 ; E(X)=22 / 9[1,358 \text { e } 1,165]

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que pede.
Dado: a v.a.c. X tem densidade de probabilidade
f(x)=\begin{cases} k, & 0\le x \le 2,\\[4pt] k(x-1), & 2<x\le 4,\\[4pt] 0, & \text{p.o.v.} \end{cases}
Pede-se:
\text{(a) encontrar }k,\qquad \mathrm{E}(X),\qquad \mathrm{V}(X),\qquad \sigma(X).
Todas as informações relevantes estão acima: a forma da densidade em cada intervalo e o fato de que fora desses intervalos a densidade é zero. A resolução começa a seguir.]

Passo 2

Normalização da densidade: a soma (integral) da densidade em todo o eixo deve ser 1. Escrevemos a equação de normalização e calculamos k.
A condição é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x) é zero fora de [0,4], isso vira
\int_{0}^{2} k\,dx + \int_{2}^{4} k(x-1)\,dx = 1.
Calcule cada integral separadamente:
\int_{0}^{2} k\,dx = k\cdot(2-0)=2k.
\int_{2}^{4} k(x-1)\,dx = k\int_{2}^{4}(x-1)\,dx.
Para a segunda integral:
\int_{2}^{4}(x-1)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}-x\right]_{2}^{4} = \left(\frac{16}{2}-4\right)-\left(\frac{4}{2}-2\right) = (8-4)-(2-2)=4.
Logo a segunda integral vale k\cdot 4.
Somando:
2k + 4k = 6k = 1 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{1}{6}.

Passo 3

Fórmula da esperança e cálculo de \mathrm{E}(X).
Conceito rápido: a esperança de uma v.a. contínua com densidade f é
\mathrm{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx,
isto é o “valor médio” ponderado pela densidade.
Aplicando à nossa densidade:
\mathrm{E}(X)=\int_{0}^{2} x\cdot k\,dx + \int_{2}^{4} x\cdot k(x-1)\,dx.
Substituindo k=\frac{1}{6} só depois de calcular as integrais simbólicas facilita checar passos.
Primeira integral:
\int_{0}^{2} x\cdot k\,dx = k\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = k\cdot\frac{2^{2}}{2}=k\cdot 2.
Segunda integral:
\int_{2}^{4} x\cdot k(x-1)\,dx = k\int_{2}^{4} (x^{2}-x)\,dx.
Calcule a primitiva:
\int (x^{2}-x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}.
Então
\int_{2}^{4} (x^{2}-x)\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{2}^{4} = \left(\frac{64}{3}-\frac{16}{2}\right)-\left(\frac{8}{3}-\frac{4}{2}\right).
Calcule termos:
\frac{64}{3}-8 = \frac{64-24}{3}=\frac{40}{3},\qquad \frac{8}{3}-2=\frac{8-6}{3}=\frac{2}{3}.
Diferença:
\frac{40}{3}-\frac{2}{3}=\frac{38}{3}.
Multiplicando por k:
\text{segunda integral} = k\cdot\frac{38}{3}.
Somando as duas partes para \mathrm{E}(X):
\mathrm{E}(X)= k\cdot 2 + k\cdot\frac{38}{3} = k\left(2+\frac{38}{3}\right) = k\cdot\frac{6+38}{3}=k\cdot\frac{44}{3}.
Substituindo k=\frac{1}{6}:
\mathrm{E}(X)=\frac{1}{6}\cdot\frac{44}{3}=\frac{44}{18}=\frac{22}{9}.
Valor numérico aproximado:
\mathrm{E}(X)=\frac{22}{9}\approx 2,444\ldots

Passo 4

Cálculo de \mathrm{E}(X^{2}) — necessário para a variância.
Definição: \mathrm{E}(X^{2})=\int x^{2}f(x)\,dx.
Aplicando:
\mathrm{E}(X^{2})=\int_{0}^{2} x^{2}\cdot k\,dx + \int_{2}^{4} x^{2}\cdot k(x-1)\,dx.
Primeira integral:
\int_{0}^{2} x^{2}\cdot k\,dx = k\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}= k\cdot\frac{8}{3}.
Segunda integral:
\int_{2}^{4} x^{2}\cdot k(x-1)\,dx = k\int_{2}^{4} (x^{3}-x^{2})\,dx.
Primitiva:
\int (x^{3}-x^{2})\,dx = \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}.
Avalie:
\int_{2}^{4} (x^{3}-x^{2})\,dx = \left(\frac{256}{4}-\frac{64}{3}\right)-\left(\frac{16}{4}-\frac{8}{3}\right).
Calcule termos:
\frac{256}{4}-\frac{64}{3}=64-\frac{64}{3}=\frac{192-64}{3}=\frac{128}{3},
\frac{16}{4}-\frac{8}{3}=4-\frac{8}{3}=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}.
Diferença:
\frac{128}{3}-\frac{4}{3}=\frac{124}{3}.
Multiplicando por k:
\text{segunda integral} = k\cdot\frac{124}{3}.
Somando:
\mathrm{E}(X^{2}) = k\cdot\frac{8}{3} + k\cdot\frac{124}{3} = k\cdot\frac{132}{3} = k\cdot 44.
Substituindo k=\frac{1}{6}:
\mathrm{E}(X^{2})=\frac{1}{6}\cdot 44 = \frac{44}{6}=\frac{22}{3}.
Valor numérico:
\mathrm{E}(X^{2})=\frac{22}{3}\approx 7,333\ldots

Passo 5

Cálculo da variância \mathrm{V}(X) e do desvio-padrão \sigma(X).
Fórmula da variância:
\mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^{2})-[\mathrm{E}(X)]^{2}.
Substituindo os valores obtidos:
\mathrm{V}(X)=\frac{22}{3}-\left(\frac{22}{9}\right)^{2}.
Calcule \left(\frac{22}{9}\right)^{2}=\frac{484}{81}. Escrevendo \frac{22}{3} com denominador 81:
\frac{22}{3}=\frac{22\cdot 27}{81}=\frac{594}{81}.
Logo
\mathrm{V}(X)=\frac{594}{81}-\frac{484}{81}=\frac{110}{81}.
Valor numérico:
\mathrm{V}(X)=\frac{110}{81}\approx 1,35802469\ldots
Desvio-padrão:
\sigma(X)=\sqrt{\mathrm{V}(X)}=\sqrt{\frac{110}{81}}=\frac{\sqrt{110}}{9}\approx 1,165343\ldots

Passo 6

Checagem rápida (sanity check) e interpretação curta.
  • k=\frac{1}{6} é positivo e a densidade integra 1, ok.
  • \mathrm{E}(X)=\frac{22}{9}\approx 2,444 está dentro do suporte [0,4], plausível.
  • Variância positiva \frac{110}{81} e desvio-padrão \frac{\sqrt{110}}{9} coerentes.
Força aí — você já tem todas as contas prontas para a prova; se quiser eu mostro uma versão mais condensada para decorar.

Resposta

\displaystyle k=\frac{1}{6}
\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{22}{9}
\displaystyle \mathrm{V}(X)=\frac{110}{81}
\displaystyle \sigma(X)=\frac{\sqrt{110}}{9}\approx 1,1653

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