Ex 20. Suponha que um medicamento existente no mercado produza o efeito desejado em
dos casos nos quais é aplicado. Um laboratório produz um novo medicamento e afirma que ele é melhor do que o existente no mercado atualmente. Verificar, estatisticamente, se a afirmação deste laboratório é verdadeira. Teste esta hipótese considerando 5% de significância.
Passo 1
O enunciado pede que a gente verifique, estatisticamente e com nível de significância de
, se o novo medicamento é melhor do que o medicamento existente. Informações dadas:
Informação que NÃO foi fornecida no enunciado (e que é essencial para realizar o teste):
- o tamanho da amostra
usada para testar o novo medicamento; - o número de casos com efeito favorável
(ou, equivalentemente, a proporção amostral ).
Sem
e
não podemos calcular o valor do teste nem o
-valor, portanto não há como concluir numericamente sobre a afirmação do laboratório.
Passo 2
Formulação das hipóteses (é obrigatório fazer isto antes de qualquer teste):
Explicação:
é a verdadeira proporção de casos em que o novo medicamento produz o efeito desejado. A hipótese alternativa é unilateral à direita porque a alegação é que o novo é “melhor” (maior proporção).
Passo 3
Escolha do teste e por quê (sem calcular ainda): usamos o teste-z para proporção única quando a amostra é razoavelmente grande. A ideia é usar a distribuição normal aproximada para a estatística amostral
sob
. Requisitos para a aproximação normal serem aceitáveis:
Se essas condições não forem satisfeitas, precisaríamos usar teste exato (teste de binomial exato), que exige cálculo diferente.
Passo 4
Fórmula da estatística de teste e explicação detalhada de cada termo. A estatística
é
Aqui:
-
é a proporção observada na amostra (número de sucessos dividido por ); -
é a proporção sob (aqui ); - o denominador
é o erro padrão da proporção sob , que mede a variabilidade típica de quando é verdadeira; - sob
e com as condições de amostra grande, tem aproximadamente a distribuição normal padrão .
Passo 5
Regra de decisão pelo valor crítico (método clássico): como o teste é unilateral à direita e
, o valor crítico da normal padrão é
Regra: rejeitamos
em favor de
se
Passo 6
Método do
-valor (alternativa útil): calcule
como na Passo 4 e então o
-valor para teste unilateral à direita é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Rejeita-se
ao nível
se
.
Passo 7
Checklist pré-aplicação (o que você deve checar na prova antes de calcular):
- Verificar se foram dados
e (ou ). - Conferir as condições
e . Se não, usar teste binomial exato. - Calcular
. - Calcular
pela fórmula da Passo 4. - Comparar com
ou calcular -valor e comparar com .
Passo 8
Exemplo ilustrativo 1 (hipotético) — para ver como fica na prática: suponha que na prova você veja
e
.
Verificação das condições:
e
, ok.
Erro padrão:
Erro padrão:
Estatística:
Comparação com
:
, portanto NÃO rejeitamos
ao nível
.
-valor aproximado:
ou seja, ligeiramente acima de
. Interpretação: com esses dados hipotéticos, não há evidência suficiente ao nível
de que o novo medicamento seja melhor.
Passo 9
Exemplo ilustrativo 2 (hipotético) — caso que rejeita
: suponha
e
.
Como
, rejeitamos
ao nível
.
-valor:
interpretando que há evidência suficiente, a
, de que o novo medicamento é melhor.
Passo 10
Resumo prático para usar na prova (passo a passo rápido quando tiver
e
):
- Calcule
. - Verifique
e . - Calcule
. - Calcule
. - Rejeite
se (ou se ).
Resposta
Não é possível verificar a afirmação: o enunciado não fornece o tamanho da amostra
nem o número de sucessos
(portanto não há como calcular a estatística do teste nem o
-valor).