Ex 20. Suponha que um medicamento existente no mercado produza o efeito desejado em 60 \% dos casos nos quais é aplicado. Um laboratório produz um novo medicamento e afirma que ele é melhor do que o existente no mercado atualmente. Verificar, estatisticamente, se a afirmação deste laboratório é verdadeira. Teste esta hipótese considerando 5% de significância.

Passo 1

O enunciado pede que a gente verifique, estatisticamente e com nível de significância de 5\%, se o novo medicamento é melhor do que o medicamento existente. Informações dadas:
\text{o medicamento existente tem taxa de sucesso } p_0 = 0{,}60
\text{o laboratório alega que o novo é melhor (ou seja, proporção maior)}óéçã
\text{nível de significância } \alpha = 0{,}05íâ
Informação que NÃO foi fornecida no enunciado (e que é essencial para realizar o teste):
  • o tamanho da amostra n usada para testar o novo medicamento;
  • o número de casos com efeito favorável x (ou, equivalentemente, a proporção amostral \hat{p}=x/n).
Sem n e x não podemos calcular o valor do teste nem o p-valor, portanto não há como concluir numericamente sobre a afirmação do laboratório.

Passo 2

Formulação das hipóteses (é obrigatório fazer isto antes de qualquer teste):
H_0: p = 0{,}60
H_1: p > 0{,}60
Explicação: p é a verdadeira proporção de casos em que o novo medicamento produz o efeito desejado. A hipótese alternativa é unilateral à direita porque a alegação é que o novo é “melhor” (maior proporção).

Passo 3

Escolha do teste e por quê (sem calcular ainda): usamos o teste-z para proporção única quando a amostra é razoavelmente grande. A ideia é usar a distribuição normal aproximada para a estatística amostral \hat{p} sob H_0. Requisitos para a aproximação normal serem aceitáveis:
n p_0 \ge 5 \quad\text{e}\quad n(1-p_0) \ge 5.
Se essas condições não forem satisfeitas, precisaríamos usar teste exato (teste de binomial exato), que exige cálculo diferente.

Passo 4

Fórmula da estatística de teste e explicação detalhada de cada termo. A estatística Z é
Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.
Aqui:
  • \hat{p}=\dfrac{x}{n} é a proporção observada na amostra (número de sucessos x dividido por n);
  • p_0 é a proporção sob H_0 (aqui 0{,}60);
  • o denominador \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} é o erro padrão da proporção sob H_0, que mede a variabilidade típica de \hat{p} quando H_0 é verdadeira;
  • sob H_0 e com as condições de amostra grande, Z tem aproximadamente a distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1).

Passo 5

Regra de decisão pelo valor crítico (método clássico): como o teste é unilateral à direita e \alpha=0{,}05, o valor crítico da normal padrão é
z_{1-\alpha}=z_{0{,}95}\approx 1{,}645.
Regra: rejeitamos H_0 em favor de H_1 se
Z > 1{,}645.

Passo 6

Método do p-valor (alternativa útil): calcule Z como na Passo 4 e então o p-valor para teste unilateral à direita é
p\text{-valor} = 1 - \Phi(Z),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Rejeita-se H_0 ao nível \alpha se p\text{-valor} < \alpha.

Passo 7

Checklist pré-aplicação (o que você deve checar na prova antes de calcular):
  1. Verificar se foram dados n e x (ou \hat{p}).
  2. Conferir as condições n p_0 \ge 5 e n(1-p_0) \ge 5. Se não, usar teste binomial exato.
  3. Calcular \hat{p}=x/n.
  4. Calcular Z pela fórmula da Passo 4.
  5. Comparar com 1{,}645 ou calcular p-valor e comparar com 0{,}05.

Passo 8

Exemplo ilustrativo 1 (hipotético) — para ver como fica na prática: suponha que na prova você veja n=100 e x=68.
\hat{p}=\frac{68}{100}=0{,}68.
Verificação das condições: n p_0 = 100\cdot 0{,}60 = 60 \ge 5 e n(1-p_0)=100\cdot 0{,}40 = 40 \ge 5, ok.
Erro padrão:
\text{SE}=\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\frac{0{,}60\cdot 0{,}40}{100}}=\sqrt{\frac{0{,}24}{100}}=\sqrt{0{,}0024}\approx 0{,}0490.
Estatística:
Z=\frac{0{,}68-0{,}60}{0{,}0490}\approx \frac{0{,}08}{0{,}0490}\approx 1{,}633.
Comparação com 1{,}645: 1{,}633<1{,}645, portanto NÃO rejeitamos H_0 ao nível 5\%. p-valor aproximado:
p\text{-valor}=1-\Phi(1{,}633)\approx 0{,}051,
ou seja, ligeiramente acima de 0{,}05. Interpretação: com esses dados hipotéticos, não há evidência suficiente ao nível 5\% de que o novo medicamento seja melhor.

Passo 9

Exemplo ilustrativo 2 (hipotético) — caso que rejeita H_0: suponha n=100 e x=70.
\hat{p}=0{,}70,\quad \text{SE}\approx 0{,}0490,
Z=\frac{0{,}70-0{,}60}{0{,}0490}\approx \frac{0{,}10}{0{,}0490}\approx 2{,}041.
Como 2{,}041>1{,}645, rejeitamos H_0 ao nível 5\%. p-valor:
p\text{-valor}=1-\Phi(2{,}041)\approx 0{,}0207,
interpretando que há evidência suficiente, a 5\%, de que o novo medicamento é melhor.

Passo 10

Resumo prático para usar na prova (passo a passo rápido quando tiver n e x):
  1. Calcule \hat{p}=x/n.
  2. Verifique n p_0 \ge 5 e n(1-p_0)\ge 5.
  3. Calcule \text{SE}=\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}.
  4. Calcule Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\text{SE}}.
  5. Rejeite H_0 se Z>1{,}645 (ou se p\text{-valor}<0{,}05).

Resposta

Não é possível verificar a afirmação: o enunciado não fornece o tamanho da amostra n nem o número de sucessos x (portanto não há como calcular a estatística do teste nem o p-valor).

Exercícios relacionados