A=\left(3, \frac{1}{2}\right) ; B=\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right) : Calcule a equação vetorial da reta que passa pelo ponto médio de \overline{A B} e seja ortogonal a este segmento
O que pedem: escrever a equação vetorial da reta que (1) passa pelo ponto médio do segmento \overline{AB} e (2) é ortogonal (perpendicular) a esse segmento.
Vou listar claramente as informações que vou usar:
As coordenadas de A e B (acima).
Fórmula do ponto médio de um segmento entre dois pontos A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B): \displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right).
Para uma reta em forma vetorial: \displaystyle \vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{d}, onde \vec{r_0} é um ponto da reta, \vec{d} é um vetor diretor da reta e t\in\mathbb{R}.
Critério de ortogonalidade em \mathbb{R}^2: dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2) são perpendiculares se e somente se \displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2=0.
Passo 2
Calcular o ponto médio M de \overline{AB} usando a fórmula do passo anterior. Primeiro as somas coordenada a coordenada:
Explicar como encontrar um vetor diretor da reta ortogonal a \overrightarrow{AB}.
Se \vec{u}=(a,b) é um vetor, um vetor perpendicular a \vec{u} pode ser escolhido como (-b,a) (verifique que a(-b)+b(a)=0). Isso vem diretamente da condição de produto escalar zero. Aqui temos \overrightarrow{AB}=\left(-\dfrac{9}{2},2\right), então uma escolha direta de vetor perpendicular é
\vec{d}=\left(-2,\,-\frac{9}{2}\right)
usando (-b,a). Porém prefiro um vetor com coordenadas inteiras para ficar mais simples na escrita; multiplicando \overrightarrow{AB} por 2 obtemos o vetor equivalente (-9,4), e um vetor perpendicular a esse é
\vec{d}=(4,9),
pois (-9,4)\cdot(4,9) = -36+36=0. Assim \vec{d}=(4,9) é um vetor diretor da reta buscada (é perpendicular a \overrightarrow{AB}).
Passo 5
Verificação rápida da ortogonalidade (checar cálculo, que é útil na prova): calcular o produto escalar entre \overrightarrow{AB} e \vec{d}. Usando a versão com inteiros,
\overrightarrow{AB}\\ (\text{escalado por }2)=(-9,4), \qquad \vec{d}=(4,9).
Produto escalar:
(-9)\cdot 4 + 4\cdot 9 = -36+36=0,
portanto são perpendiculares, como queríamos.
Passo 6
Explicar a forma da equação vetorial da reta e as equações paramétricas que dela decorrem.
A forma geral é
\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{d},
onde \vec{r_0} é o vetor posição de um ponto da reta (aqui \vec{r_0} será a posição de M) e \vec{d} é um vetor diretor (aqui (4,9)). As equações paramétricas associadas são
x = x_0 + t d_x,\qquad y = y_0 + t d_y,
onde \vec{r_0}=(x_0,y_0) e \vec{d}=(d_x,d_y). Usando os valores que já encontramos (M=\left(\dfrac{3}{4},\dfrac{3}{2}\right) e \vec{d}=(4,9)) obtém-se a forma paramétrica da reta.