1. Plano : x-y+2 z-1=0 Calcule o ponto P(x, y, z) no plano e tal que o vetor 0 P seja ortogonal ao plano.

Passo 1

O enunciado dá o plano \,x - y + 2z - 1 = 0\, e pede o ponto P(x,y,z) que pertence a esse plano e tal que o vetor \vec{OP} (do origem O=(0,0,0) até P) seja ortogonal ao plano.
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação do plano: \,x - y + 2z - 1 = 0\,.
  • Quer-se um ponto P no plano com a propriedade que \vec{OP} é ortogonal ao plano.

Passo 2

Entendendo o que significa “vetor \vec{OP} ortogonal ao plano”.
  • Para um plano dado por \,ax+by+cz+d=0\,, o vetor normal ao plano é \,\vec{n}=(a,b,c). Esse vetor é ortogonal a qualquer vetor que esteja contido no plano.
  • Se um vetor é ortogonal ao plano, então ele é paralelo ao vetor normal \vec{n}. Ou seja, existir um escalar t tal que o vetor em questão é t\vec{n}.
Aplicando isso aqui: a equação \,x - y + 2z - 1 = 0\, mostra que o vetor normal ao plano é
\vec{n} = (1,-1,2).

Passo 3

Relacionando \vec{OP} com o vetor normal.
  • O vetor \vec{OP} tem coordenadas (x,y,z) porque vai da origem ao ponto P(x,y,z).
  • Como \vec{OP} deve ser paralela a \vec{n}, existe t\in\mathbb{R} tal que
\vec{OP} = (x,y,z) = t\,(1,-1,2).
Isto dá a parametrização
x=t,\qquad y=-t,\qquad z=2t.

Passo 4

Impor que P pertence ao plano usando a parametrização. Substituir x,y,z na equação do plano:
x - y + 2z - 1 = 0.
Substituindo x=t, y=-t, z=2t obtemos
t - (-t) + 2(2t) - 1 = 0.

Passo 5

Resolver a equação para t. Calcule passo a passo:
t - (-t) + 2(2t) - 1 = t + t + 4t - 1 = 6t - 1.
Portanto
6t - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{1}{6}.

Passo 6

Determinar as coordenadas de P substituindo t=\dfrac{1}{6} na parametrização:
x = t = \frac{1}{6},\qquad y = -t = -\frac{1}{6},\qquad z = 2t = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
Logo
P\!\left(\frac{1}{6}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{3}\right).

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): confirmar que P satisfaz a equação do plano e que \vec{OP} é paralelo a \vec{n}.
  • Substituindo em \,x - y + 2z - 1\,:
\frac{1}{6} -\biggl(-\frac{1}{6}\biggr) + 2\cdot\frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{6} + \frac{4}{6} - \frac{6}{6} = 0,
portanto P está no plano.
  • Além disso \vec{OP} = \left(\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{6}(1,-1,2) = \dfrac{1}{6}\vec{n}, logo é paralelo ao normal, isto é, ortogonal ao plano.

Passo 8

Dica prática para a prova (resumo rápido): para achar o ponto do plano cuja posição a partir da origem é ortogonal ao plano, pegue o vetor normal (a,b,c), escreva (x,y,z)=t(a,b,c), substitua na equação do plano e resolva t. Simples e rápido — respira, dá pra fazer em poucos passos.

Resposta

P\!\left(\dfrac{1}{6}, -\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{3}\right)

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