- Plano :
Calcule o ponto
no plano e tal que o vetor
seja ortogonal ao plano.
Passo 1
O enunciado dá o plano
e pede o ponto
que pertence a esse plano e tal que o vetor
(do origem
até
) seja ortogonal ao plano.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Equação do plano:
. - Quer-se um ponto
no plano com a propriedade que é ortogonal ao plano.
Passo 2
Entendendo o que significa “vetor
ortogonal ao plano”.
- Para um plano dado por
, o vetor normal ao plano é . Esse vetor é ortogonal a qualquer vetor que esteja contido no plano. - Se um vetor é ortogonal ao plano, então ele é paralelo ao vetor normal
. Ou seja, existir um escalar tal que o vetor em questão é .
Aplicando isso aqui: a equação
mostra que o vetor normal ao plano é
Passo 3
Relacionando
com o vetor normal.
- O vetor
tem coordenadas porque vai da origem ao ponto . - Como
deve ser paralela a , existe tal que
Isto dá a parametrização
Passo 4
Impor que
pertence ao plano usando a parametrização. Substituir
na equação do plano:
Substituindo
,
,
obtemos
Passo 5
Resolver a equação para
. Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 6
Determinar as coordenadas de
substituindo
na parametrização:
Logo
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): confirmar que
satisfaz a equação do plano e que
é paralelo a
.
- Substituindo em
:
portanto
está no plano.
- Além disso
, logo é paralelo ao normal, isto é, ortogonal ao plano.
Passo 8
Dica prática para a prova (resumo rápido): para achar o ponto do plano cuja posição a partir da origem é ortogonal ao plano, pegue o vetor normal
, escreva
, substitua na equação do plano e resolva
. Simples e rápido — respira, dá pra fazer em poucos passos.