1. Se \left\{a_{n}\right\} for crescente a partir de um certo termo, então a_{100}<a_{200}.

Passo 1

O enunciado afirma que se a sequência \{a_{n}\} é crescente “a partir de um certo termo”, então necessariamente a_{100}<a_{200}. O conteúdo envolvido é a noção de monotonicidade eventual de uma sequência e a comparação entre dois termos quaisquer.

Passo 2

“Ser crescente a partir de um certo termo” significa que existe um índice N_{0} tal que, para todo n\ge N_{0}, vale
a_{n}<a_{n+1}.

Passo 3

Se N_{0}\le100, então tanto 100 quanto 200 estão na região em que a sequência é crescente, e por transitividade
a_{100}<a_{101}<\cdots<a_{200},
logo a_{100}<a_{200} nesse caso.
Porém, se N_{0}>100, o termo a_{100} fica fora da parte crescente, de modo que não há garantia sobre a relação entre a_{100} e a_{200}.

Passo 4

Contraexemplo. Defina
a_{n}=\begin{cases} 200 - n,&n\le200,\\\ n - 200,&n>200. \end{cases}
Então para n>200 temos
a_{n}=n-200< (n+1)-200 = a_{n+1},
ou seja, a sequência é crescente a partir de N_{0}=200. Mas
a_{100}=200-100=100 \quad\text{e}\quad a_{200}=200-200=0,
logo a_{100}>a_{200}, contrariando a afirmação.

Resposta

A afirmação é falsa.

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