1. Qualquer sequência limitada converge.

Passo 1

O enunciado afirma que “qualquer sequência limitada converge”. O conteúdo envolvido é convergência de sequências reais e a definição de sequência limitada.

Passo 2

Uma sequência (a_n)_{n=1}^\infty é dita limitada se existir M>0 tal que, para todo n,
|a_n|\le M.
Já a convergência significa que existe L\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty}a_n = L.

Passo 3

Para refutar a afirmação, basta um contra-exemplo. Considere a sequência
a_n = (-1)^n.
Essa sequência é limitada pois |a_n|=1 para todo n. No entanto, ela não converge: ao passar para n par temos a_n=1 e, para n ímpar temos a_n=-1, sem um único valor limite.

Passo 4

Logo, a afirmação é falsa. O que vale, na verdade, é o Teorema de Bolzano–Weierstrass, que garante existência de alguma subsequência convergente em toda sequência limitada, mas não a convergência da sequência inteira.

Resposta

A afirmação é falsa (por exemplo, a_n = (-1)^n é limitada e não converge).

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