- Qualquer sequência limitada converge.
Passo 1
O enunciado afirma que “qualquer sequência limitada converge”. O conteúdo envolvido é convergência de sequências reais e a definição de sequência limitada.
Passo 2
Uma sequência
é dita limitada se existir
tal que, para todo
,
Já a convergência significa que existe
tal que
Passo 3
Para refutar a afirmação, basta um contra-exemplo. Considere a sequência
Essa sequência é limitada pois
para todo
. No entanto, ela não converge: ao passar para
par temos
e, para
ímpar temos
, sem um único valor limite.
Passo 4
Logo, a afirmação é falsa. O que vale, na verdade, é o Teorema de Bolzano–Weierstrass, que garante existência de alguma subsequência convergente em toda sequência limitada, mas não a convergência da sequência inteira.
Resposta
A afirmação é falsa (por exemplo,
é limitada e não converge).