\pi_{A}\left(m, p_{A} ; p_{B}\right)=\left[\ln (m)-p_{A}+p_{B}\right]\left(p_{A}-c\right)-m .
A firma A escolhe o seu gasto com marketing e o seu preço de forma a maximizar o seu lucro. Com base nessas inform ações, responda o seguinte:
(a) ( 1,5 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para o problema da firma A.
(b) ( 1,5 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma A.
(c) (1,0 ponto) Encontre o impacto de um aumento no preço da firma B sobre m e p_{A}.

P2 Q3 2023

  1. ( 2,5 pontos) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
    (a) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}5 & 3 \\\ x & 2\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
    (b) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}2 & x \\\\ 3 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
    (c) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}4 & 2 & x \\\\ 3 & y & 2\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
    (d) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}x & 6 & 2 \\\\ 3 & 4 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
    (e) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}0 & x & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 4 & 3\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
  2. (2,0 pontos) Sejam os vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1) e considere as seguintes matrizes:
U=\left[\begin{array}{lll} x & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 2 & 2 & 2 \end{array}\right], \quad V=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & y & 1 \\\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right], \text { e } \quad W=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 2 & 3 & z \end{array}\right]
Determine x, y e z de forma que os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}=U \boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V \boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W \boldsymbol{w} sejam ortogon ais.
3. ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m_{1}, p_{2}, m_{2}\right)=f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)+f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1 , m_{1} é o gasto com marketing da firma 1, p_{2} é o preço do bem produzido pela firma 2 e m_{2} é o gasto com marketing da firma 2. A função f_{1} é duas vezes continuamente diferenciável e a função f_{2} é continuamente diferenciável. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m_{1}\right)=c q_{1}+m_{1}, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m_{1}, p_{2}, m_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)+f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)\right]-m_{1}
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m_{1}, de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
\begin{gathered} \frac{\partial f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0, \frac{\partial f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial m_{1}}>0 \\\ \frac{\partial f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)}{\partial p_{2}}>0 \text { e } \frac{\partial f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)}{\partial m_{2}}<0 \end{gathered}
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m_{1}^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}, p_{2}, m_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m_{1}^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}\right)}{\partial m_{1}^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em m_{2} sobre p_{1}^{*} e m_{1}^{*}. Analise os sin ais.
4. (2,5 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}_{++}podem ser representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+\ln x_{2}. Esse consumidor possui renda m>0 e se depara com os preços p_{1}, p_{2}>0. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
\max _{x_{1}, x_{2}} u\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+\ln x_{2}
sujeito a:
p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq m
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda, x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right), como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor. Assuma solução interior: x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right)>0 e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right)> 0.
(b) (0,5 ponto ) Encontre a função utilidade indiret a do consumidor (função valor).
(c) (1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.

P2 Q3 2023

  1. (2,0 pontos) Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos seguintes vetores: \boldsymbol{f}=(1,2,0,3), \boldsymbol{g}=(2,0,4,2) e \boldsymbol{h}=(0,8,2,-2). Existem outros vetores unitários ortogon ais a \boldsymbol{f}, \boldsymbol{g} e \boldsymbol{h} ? Justifique.
  2. (2,0 pontos) Se \left\{\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right\} formam um conjunto de vetores linearmente independentes, então as diferenças \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3} e \boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2} são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Prove.
  3. ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m é o gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de substitutibilidade entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}\right]-m
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admit a que
\frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0 \text { e } \frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial m}>0
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).

Passo 1

O problema é
\max_{m>0,\;p_{A}>c}\;\pi_{A}(m,p_{A};p_{B})=\bigl[\ln(m)-p_{A}+p_{B}\bigr](p_{A}-c)-m,
onde p_{B} é parâmetro. Precisamos (a) obter as condições de primeira ordem (FOC), (b) examinar as condições de segunda ordem (SOC) via Hessiana, e (c) usar o Teorema da Função Implícita para ver como um aumento em p_{B} afeta m e p_{A}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero. Defina
A=\ln m - p_{A} + p_{B}, \qquad B=p_{A}-c,
então \pi_{A}=A\,B - m.
Derivando em relação a m:
\frac{\partial \pi_{A}}{\partial m} =\frac{1}{m}(p_{A}-c)-1 =0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{p_{A}-c}{m}=1.
Derivando em relação a p_{A}:
\frac{\partial \pi_{A}}{\partial p_{A}} =A\cdot\frac{\partial B}{\partial p_{A}}+B\cdot\frac{\partial A}{\partial p_{A}} =A\cdot1 + B\cdot(-1) =0
\ln m -p_{A}+p_{B} \;-\;(p_{A}-c)=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln m -2p_{A}+p_{B}+c=0.

Passo 3

O Hessiano H de \pi_{A} em (m,p_{A}) é
H=\begin{pmatrix} \pi_{mm} & \pi_{mp_{A}}\\[6pt] \pi_{p_{A}m} & \pi_{p_{A}p_{A}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{p_{A}-c}{m^{2}} & \dfrac{1}{m}\\[8pt] \dfrac{1}{m} & -2 \end{pmatrix}.
Em equilíbrio p_{A}-c=m>0, logo \pi_{mm}=-1/m<0 e
\det H=\Bigl(-\frac{1}{m}\Bigr)(-2)-\frac{1}{m^{2}} =\frac{2}{m}-\frac{1}{m^{2}} =\frac{2m-1}{m^{2}}>0 \;\Longleftrightarrow\; m>\tfrac12.
Portanto, basta m>1/2 (i.e.\ p_{A}-c>1/2) para que H seja negativa-definida.]

Passo 4

Para ver o efeito de p_{B}\), trate as FOC como \[F_{1}(m,p_{A})=\frac{p_{A}-c}{m}-1=0, \quad F_{2}(m,p_{A})=\ln m -2p_{A}+p_{B}+c=0
e diferencie implicitamente em p_{B}:
\begin{cases} -\dfrac{p_{A}-c}{m^{2}}\,dm + \dfrac{1}{m}\,dp_{A}=0,\\[6pt] \dfrac{1}{m}\,dm -2\,dp_{A}+1\cdot dp_{B}=0. \end{cases}
Da primeira: -\tfrac{m}{m^{2}}\,dm+\tfrac{1}{m}\,dp_{A}=0\Rightarrow dp_{A}=dm\]. Substituindo na segunda: \[\frac{1}{m}dm -2\,dm +dp_{B}=0 \;\Longrightarrow\; dm\bigl(\tfrac{1}{m}-2\bigr)=-dp_{B} \;\Longrightarrow\; dm=\frac{m}{2m-1}\,dp_{B},\] e como \(dp_{A}=dm,
\frac{\partial m}{\partial p_{B}} =\frac{m}{2m-1}, \quad \frac{\partial p_{A}}{\partial p_{B}} =\frac{m}{2m-1}.
Em particular, para m>1/2, ambos são positivos.]

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial \pi_{A}}{\partial m}=0\Rightarrow \frac{p_{A}-c}{m}=1, \quad \displaystyle \frac{\partial \pi_{A}}{\partial p_{A}}=0\Rightarrow \ln m -2p_{A}+p_{B}+c=0. (b) Em equilíbrio p_{A}-c=m, deve valer \pi_{mm}<0 e \det H>0, i.e.\ m>1/2 (ou p_{A}-c>1/2).
(c) \displaystyle \frac{\partial m}{\partial p_{B}} =\frac{m}{2m-1}>0, \quad \displaystyle \frac{\partial p_{A}}{\partial p_{B}} =\frac{m}{2m-1}>0.

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