Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas:
\left[\begin{array}{cccc}-2 & -1 & 0 & 2 \\\\ 3 & 1 & -2 & -2 \\\\ -4 & -1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 1 & -1 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para levar a matriz
A = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 2 \\[6pt] 3 & 1 & -2 & -2 \\[6pt] -4 & -1 & 2 & 3 \\[6pt] 3 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}
à forma escada reduzida por linhas (RREF) usando o método de Gauss–Jordan. Vamos nomear as linhas como \text{R}_1,\dots,\text{R}_4 e, em cada passo, escolher pivôs, escalar linhas e eliminar entradas nas colunas correspondentes.]

Passo 2

Pivot na coluna 1. Primeiro trocamos \text{R}_1 com \text{R}_2 para ter um elemento não nulo no pivô, depois escalamos a nova \text{R}_1 para que o pivô seja 1 e eliminamos nas outras linhas:
\begin{aligned} \text{R}_1 &\leftrightarrow \text{R}_2 &&\Longrightarrow \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 & -2 \\[3pt] -2 & -1 & 0 & 2 \\[3pt] -4 & -1 & 2 & 3 \\[3pt] 3 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix},\\\ \text{R}_1&\leftarrow \frac{1}{3}\,\text{R}_1 &&\Longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & \tfrac13 & -\tfrac23 & -\tfrac23 \\[3pt] -2 & -1 & 0 & 2 \\[3pt] -4 & -1 & 2 & 3 \\[3pt] 3 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix},\\\ \text{R}_2&\leftarrow \text{R}_2 + 2\,\text{R}_1,\quad \text{R}_3\leftarrow \text{R}_3 + 4\,\text{R}_1,\quad \text{R}_4\leftarrow \text{R}_4 - 3\,\text{R}_1 &&\Longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & \tfrac13 & -\tfrac23 & -\tfrac23 \\[3pt] 0 & -\tfrac13 & -\tfrac43 & \tfrac23 \\[3pt] 0 & \tfrac13 & -\tfrac23 & \tfrac13 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}]

Passo 3

Pivot na coluna 2. Trocamos a linha 2 com a linha 3 para ter pivô positivo, depois escalamos e eliminamos nas outras linhas:
\begin{aligned} \text{R}_2&\leftrightarrow \text{R}_3 &&\Longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & \tfrac13 & -\tfrac23 & -\tfrac23 \\[3pt] 0 & \tfrac13 & -\tfrac23 & \tfrac13 \\[3pt] 0 & -\tfrac13 & -\tfrac43 & \tfrac23 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\\\ \text{R}_2&\leftarrow 3\,\text{R}_2 &&\Longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & \tfrac13 & -\tfrac23 & -\tfrac23 \\[3pt] 0 & 1 & -2 & 1 \\[3pt] 0 & -\tfrac13 & -\tfrac43 & \tfrac23 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\\\ \text{R}_1&\leftarrow \text{R}_1 - \tfrac13\,\text{R}_2,\quad \text{R}_3\leftarrow \text{R}_3 + \tfrac13\,\text{R}_2 &&\Longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\[3pt] 0 & 1 & -2 & 1 \\[3pt] 0 & 0 & -2 & 1 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}]

Passo 4

Pivot na coluna 3. Trocamos a linha 3 com a linha 4 para ter pivô igual a 1 e eliminamos:
\begin{aligned} \text{R}_3&\leftrightarrow \text{R}_4 &&\Longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\[3pt] 0 & 1 & -2 & 1 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix},\\\ \text{R}_2&\leftarrow \text{R}_2 + 2\,\text{R}_3,\quad \text{R}_4\leftarrow \text{R}_4 + 2\,\text{R}_3 &&\Longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\[3pt] 0 & 1 & 0 & 1 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}]

Passo 5

Pivot na coluna 4. Já temos o pivô \,1 em \text{R}_4; basta eliminar acima:
\text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 + \text{R}_4,\quad \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \text{R}_4 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

A forma escada reduzida por linhas é a matriz identidade 4\times4:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

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