\left(x^{6}-2 x^{5}+2 x^{4}-y^{3}+4 x^{2} y\right) d x+\left(x y^{2}-4 x^{3}\right) d y=0
[Use a substituição: y=u x ]

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{6}-2 x^{5}+2 x^{4}-y^{3}+4 x^{2}y\bigr)\,dx \;+\;\bigl(x y^{2}-4 x^{3}\bigr)\,dy=0
e indica usar a substituição y=u x.
Conteúdo: resolver uma EDO de primeira ordem não-exata tornando-a exata via y=ux. Precisamos expressar M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy em termos de x e u, achar uma equação exata e integrar.

Passo 2

Fazemos
y = u x, \qquad dy = u\,dx + x\,du.
Definimos
M(x,y)=x^{6}-2 x^{5}+2 x^{4}-y^{3}+4 x^{2}y, \quad N(x,y)=x y^{2}-4 x^{3}.
Substituímos y=ux em M e N:
M(x,ux)=x^{6}-2x^{5}+2x^{4}-u^{3}x^{3}+4u\,x^{3} =x^{6}-2x^{5}+2x^{4}+x^{3}(4u-u^{3}),
N(x,ux)=x\,(u x)^{2}-4x^{3}=x^{3}(u^{2}-4).

Passo 3

Substituindo em M\,dx+N\,dy=0 obtemos
M(x,ux)\,dx + N(x,ux)\,(u\,dx + x\,du)=0 \;\Longrightarrow\; \bigl[M+u\,N\bigr]\,dx + x\,N\,du=0.
Calculamos
M+uN =x^{6}-2x^{5}+2x^{4} +x^{3}(4u-u^{3}) +u\,x^{3}(u^{2}-4) =x^{4}(x^{2}-2x+2),
e
x\,N =x\cdot x^{3}(u^{2}-4) =x^{4}(u^{2}-4).
Logo a equação vira
x^{4}\bigl[(x^{2}-2x+2)\,dx + (u^{2}-4)\,du\bigr]=0.
Para x\neq0 dividimos por x^{4} e sobra
(x^{2}-2x+2)\,dx + (u^{2}-4)\,du=0.

Passo 4

Verificamos que é exata, pois \partial/\partial u\,(x^{2}-2x+2)=0 e \partial/\partial x\,(u^{2}-4)=0.
Logo existe \Psi(x,u) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=x^{2}-2x+2, \qquad \frac{\partial \Psi}{\partial u}=u^{2}-4.

Passo 5

Integramos em x:
\Psi(x,u)=\int(x^{2}-2x+2)\,dx =\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+2x + h(u).
Para achar h(u), usamos \Psi_{u}=u^{2}-4:
h'(u)=u^{2}-4 \;\Longrightarrow\; h(u)=\frac{u^{3}}{3}-4u.
Assim
\Psi(x,u) =\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+2x +\frac{u^{3}}{3}-4u =\text{constante}.

Passo 6

Voltando a y=ux, u=y/x, obtemos a solução implícita:
\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+2x +\frac{1}{3}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{3} -4\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) =C.
Opcionalmente, multiplicando por 3x^{3} para eliminar frações:
x^{6}-3x^{5}+6x^{4}+y^{3}-12x^{2}y=K,
com K constante.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+2x +\frac{y^{3}}{3x^{3}} -4\,\frac{y}{x} =C,
ou equivalentemente
x^{6}-3x^{5}+6x^{4}+y^{3}-12x^{2}y=K.

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