\left(x y+2 x y(\ln y)^{2}+y \ln y\right) d x+\left(2 x^{2} \ln y+x\right) d y=0
[ Use a substituição: x \ln y=t ]

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(xy + 2xy(\ln y)^2 + y\ln y\bigr)\,dx \;+\;\bigl(2x^2\ln y + x\bigr)\,dy = 0
e pede para usar a substituição
t = x\ln y.
O objetivo é transformar essa equação em uma forma mais simples, integrá-la e depois voltar à variável original y.

Passo 2

Da definição t = x\ln y, calculemos dt em termos de dx e dy.
Derivando:
dt = d(x\ln y) = \ln y\,dx + x\,\frac{1}{y}\,dy.
Isolando dy, temos
\frac{x}{y}\,dy = dt - \frac{t}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dy = \frac{y}{x}\,\bigl(dt - \tfrac{t}{x}\,dx\bigr).

Passo 3

Reescrevamos os coeficientes M e N da equação M\,dx + N\,dy = 0 em função de x, y e t:
- M = xy + 2xy(\ln y)^2 + y\ln y = xy + \frac{2y\,t^2}{x} + \frac{y\,t}{x}.
- N = 2x^2\ln y + x = 2x\,t + x = x\,(2t+1).

Passo 4

Substituindo dy e esses M,N na equação original:
M\,dx + N\,dy = \Bigl(xy + \frac{2y\,t^2}{x} + \frac{y\,t}{x}\Bigr)dx + x(2t+1)\,\frac{y}{x}\,(dt - \tfrac{t}{x}\,dx).
Agrupando os termos em dx e em dt, nota-se que o coeficiente de dx fica
y\Bigl[x + \frac{2t^2+t}{x} - \frac{t(2t+1)}{x}\Bigr] = y\bigl[x + 0\bigr] = yx,
enquanto o coeficiente de dt é y(2t+1). Portanto a equação reduzida é
yx\,dx + y\,(2t+1)\,dt = 0.
Dividindo por y (que não anula a equação), resulta
x\,dx + (2t+1)\,dt = 0.

Passo 5

A equação agora está separada e pronta para integração:
\int x\,dx + \int (2t+1)\,dt = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}x^2 + t^2 + t = C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Para voltar à variável y, lembramos que t = x\ln y. Substituindo em \tfrac12x^2 + t^2 + t = C, obtemos a solução implícita em x,y:
\frac{1}{2}x^2 + (x\ln y)^2 + x\ln y = C.

Passo 7

Multiplicando por 2 para simplificar a forma da constante, podemos escrever a solução geral como
x^2 + 2\,(x\ln y)^2 + 2\,x\ln y = C',
com C'=2C.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
x^2 + 2\,(x\ln y)^2 + 2\,x\ln y = C',
onde C' é constante de integração.

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