[ Use a substituição:
]
[ Use a substituição:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para usar a substituição
O objetivo é transformar essa equação em uma forma mais simples, integrá-la e depois voltar à variável original
.
Passo 2
Da definição
, calculemos
em termos de
e
.
Derivando:
Derivando:
Isolando
, temos
Passo 3
Reescrevamos os coeficientes
e
da equação
em função de
,
e
:
-
-
-
-
Passo 4
Substituindo
e esses
na equação original:
Agrupando os termos em
e em
, nota-se que o coeficiente de
fica
enquanto o coeficiente de
é
. Portanto a equação reduzida é
Dividindo por
(que não anula a equação), resulta
Passo 5
A equação agora está separada e pronta para integração:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Para voltar à variável
, lembramos que
. Substituindo em
, obtemos a solução implícita em
:
Passo 7
Multiplicando por 2 para simplificar a forma da constante, podemos escrever a solução geral como
com
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
onde
é constante de integração.