Qual a \left[\mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}\right]e o pH em uma solução de:
\mathrm{HNO}_{3} 10^{-11} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a concentração de \mathrm{H_{3}O^{+}} e o pH de uma solução de ácido nítrico com concentração 10^{-11}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Informações dadas:
  • concentração do ácido forte (totalmente dissociado): c = 10^{-11}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} (peguei essa informação do enunciado);
  • temperatura padrão assumida (quando não indicada): 25^\circ\mathrm{C}, para a qual o produto iônico da água é K_w = 10^{-14} (unidade \mathrm{mol^{2}\,L^{-2}}).
O que é pedido:
  • calcular \left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right];
  • calcular o pH desta solução.

Passo 2

Conceito e ideia do método (aula rápida, sem pular etapas).
  • Ácido forte como \mathrm{HNO_{3}} se dissocia totalmente em água:
    \mathrm{HNO_{3} \to H_{3}O^{+} + NO_{3}^{-}},
    portanto a adição do ácido aporta c mol·L^{-1} de \mathrm{H_{3}O^{+}} diretamente.
  • A água também se autoioniza:
    2\,\mathrm{H_{2}O \rightleftharpoons H_{3}O^{+} + OH^{-}},
    e em equilíbrio vale
    K_w = \left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]\left[\mathrm{OH^{-}}\right]=10^{-14}.
  • Em soluções muito diluídas de ácido forte (quando c é da ordem de 10^{-7} ou menor), a contribuição de \mathrm{H_{3}O^{+}} proveniente da autoionização da água não pode ser desprezada. Portanto não se pode simplesmente tomar \left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]=c.
  • Método prático: chamar \left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]=h e usar a relação de K_w para relacionar h e \left[\mathrm{OH^{-}}\right]. Como o ácido adiciona apenas \mathrm{H_{3}O^{+}} (não adiciona \mathrm{OH^{-}}), a conservação das quantidades geradas pela água leva à equação abaixo (explicada no Passo 3).

Passo 3

Montando a equação de equilíbrio (passo a passo, sem pular contas).
  • Definir variáveis: c = 10^{-11}\quad\text{(concentração do ácido adicionada)}çãá
h = \left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]\quad\text{(total em equilíbrio)}í
K_w = 10^{-14}
  • Se a água se autoioniza gerando x de \mathrm{H_{3}O^{+}} e x de \mathrm{OH^{-}}, então
    h = c + x \quad\text{e}\quad \left[\mathrm{OH^{-}}\right] = x.
  • Aplicando K_w:
    K_w = h\cdot\left[\mathrm{OH^{-}}\right] = h\cdot x = h\cdot(h-c).
    Isso dá a equação quadrática
    h(h-c)=K_w \quad\Longrightarrow\quad h^{2}-c\,h-K_w=0.
  • Resolver a quadrática para h (usar fórmula de Bhaskara):
    h = \frac{c + \sqrt{c^{2} + 4K_w}}{2}.
    (escolhe-se o sinal positivo porque h é concentração positiva).

Passo 4

Aplicar números e simplificar (cálculo numérico, com passos claros).
  • Substituir c=10^{-11} e K_w=10^{-14}:
    h = \frac{10^{-11} + \sqrt{(10^{-11})^{2} + 4\cdot10^{-14}}}{2}.
  • Avaliar os termos:
    (10^{-11})^{2}=10^{-22}\quad\text{(muito pequeno, desprezível em relação a }4\cdot10^{-14}\text{)},íçã
4K_w = 4\cdot10^{-14}.
Então o radicando é aproximadamente 4\cdot10^{-14} e sua raiz é
\sqrt{4\cdot10^{-14}}=2\cdot10^{-7}.
  • Assim,
    h \approx \frac{10^{-11} + 2\cdot10^{-7}}{2} = \frac{2{,}0001\cdot10^{-7}}{2}=1{,}00005\cdot10^{-7}.
    Em notação usual:
    \left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right] \approx 1{,}00005\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • Observação didática rápida: se alguém, por distração, usasse \left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]=c=10^{-11}, obteria pH =11 (solução básica), o que é absurdo pois adicionar ácido não torna a solução básica. Isso mostra a necessidade de incluir a autoionização da água quando c é tão pequena.

Passo 5

Calcular o pH (passo a passo do log).
  • Definição:
    \mathrm{pH} = -\log_{10}\left(\left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]\right).
  • Usar h=1{,}00005\times10^{-7}:
    \mathrm{pH} = -\log_{10}\!\left(1{,}00005\times10^{-7}\right) = -\big(\log_{10}(1{,}00005)+\log_{10}(10^{-7})\big).
  • Sabendo que \log_{10}(10^{-7})=-7 e que \log_{10}(1{,}00005) é muito pequeno (aproximadamente 2{,}17\times10^{-5}), temos
    \mathrm{pH} \approx -\big(2{,}17\times10^{-5}-7\big)=7-2{,}17\times10^{-5}=6{,}99998\\ (\text{aprox.}).
  • Para a prática de prova, é suficiente concluir que o pH é praticamente 7{,}00; numericamente mais preciso: \mathrm{pH}\approx6{,}99998.

Resposta

\left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]\approx1{,}00005\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
\mathrm{pH}\approx6{,}99998 (praticamente 7{,}00)

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