Qual a \left[\mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}\right]e o pH em uma solução de:
\mathrm{HNO}_{3} 10^{-8} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • A concentração de \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right] em uma solução de \mathrm{HNO}_{3} com concentração inicial 10^{-8}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • O valor do pH dessa solução.
Informações relevantes fornecidas:
  • A concentração do ácido forte é c=\(10^{-8}\ \mathrm{mol\ L^{-1}}). (Peguei esse número do enunciado.)
  • \mathrm{HNO}_{3} é um ácido forte: na solução aquosa ele se ioniza completamente, fornecendo c de \mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}, mas como c é muito baixa é necessário considerar também a autoprotólise da água.
  • Constante de ionização da água ( K_w) à temperatura ambiente padrão (25 °C): K_w=\(10^{-14}).

Passo 2

Entendendo o problema (explicação didática):
  • Em soluções diluídas com ácidos fortes, normalmente consideraríamos \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]\approx c. Porém aqui c=\(10^{-8}) é menor que a contribuição da água pura ( 10^{-7}), então não se pode ignorar a água.
  • A água, sozinha, produz \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]=\left[\mathrm{OH}^{-}\right]=\(10^{-7}) em água pura. Ao adicionar um ácido fraco de concentração semelhante ou menor, ambos os efeitos se somam e precisamos fazer um balanço correto.

Passo 3

Montando a equação correta (justificação passo a passo):
  • Eletricidade deve se conservar (neutralidade): a soma das cargas positivas iguala a das negativas. Aqui isso resulta na relação
\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]=\left[\mathrm{OH}^{-}\right]+c,
onde c é a concentração do ácido forte adicionada (cada fórmula unitária de \mathrm{HNO}_{3} adiciona um \mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}).
  • Usamos a relação da autoprotólise da água:
\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]\left[\mathrm{OH}^{-}\right]=K_w=\(10^{-14}\).
  • Substituindo \left[\mathrm{OH}^{-}\right]=\dfrac{K_w}{\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]} na relação de neutralidade, obtemos a equação em \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]:
\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]=\dfrac{K_w}{\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]} + c.
  • Multiplicando ambos os lados por \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right] para eliminar o denominador, chega-se a uma equação quadrática:
\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]^2 - c\,\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right] - K_w = 0.

Passo 4

Solução da equação quadrática (fórmula geral e escolha da raiz física):
  • A equação tem forma x^2 - c x - K_w = 0 com x=\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right].
  • Pela fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática), as raízes são
x=\frac{c \pm \sqrt{c^2 + 4K_w}}{2}.
  • Como \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right] deve ser positiva, escolhemos a raiz com sinal +:
\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]=\frac{c + \sqrt{c^2 + 4K_w}}{2}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos (passo a passo nos cálculos):
  • Temos c=\(10^{-8}) e K_w=\(10^{-14}).
  • Calcular o discriminante:
c^2 + 4K_w = \left(10^{-8}\right)^2 + 4\cdot 10^{-14} = 10^{-16} + 4\cdot 10^{-14} = 4{,}01\times 10^{-14}.
  • A raiz quadrada:
\sqrt{c^2 + 4K_w} = \sqrt{4{,}01\times 10^{-14}} \approx 2{,}002498\dots \times 10^{-7}.
(Usei a propriedade \sqrt{a\times 10^{n}}=\sqrt{a}\times 10^{n/2}.)
  • Somando com c (observe que c=10^{-8}=0{,}1\times 10^{-7}):
c + \sqrt{c^2 + 4K_w} \approx 0{,}1\times 10^{-7} + 2{,}002498\times 10^{-7} = 2{,}102498\times 10^{-7}.
  • Finalmente dividindo por 2:
\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]\approx \frac{2{,}102498\times 10^{-7}}{2}=1{,}051249\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Passo 6

Cálculo do pH (definição e aplicação numérica):
  • Definição de pH:
\mathrm{pH} = -\log_{10}\!\left(\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]\right).
  • Substituindo \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]\approx 1{,}051249\times 10^{-7}:
\mathrm{pH} \approx -\log_{10}\!\left(1{,}051249\times 10^{-7}\right).
  • Separando o logaritmo:
\log_{10}\!\left(1{,}051249\times 10^{-7}\right)=\log_{10}(1{,}051249) + \log_{10}\!\left(10^{-7}\right)\approx 0{,}0217 - 7.
  • Assim
\mathrm{pH} \approx 7 - 0{,}0217 = 6{,}9783\approx 6{,}98.

Passo 7

Interpretação final e dica prática para a prova:
  • Resultado mostra que a solução levemente ácida com c=10^{-8} tem pH um pouco abaixo de 7, não pH 8. Isso acontece porque a água já fornece 10^{-7} de \mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+} e adicionando um ácido fraco naquela escala altera pouco o equilíbrio.
  • Em provas, sempre verifique se a concentração do ácido é da ordem de 10^{-7} ou menor; se for, não use simplesmente \mathrm{pH}=-\log\text{(c)}, resolva a quadrática ou use a aproximação com K_w.

Resposta

\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]=1{,}05\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
\mathrm{pH}=6{,}98

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