A lei de formação a = n² + 3, n ∈ N* gera a seguinte sequência: (4, 7, 12, …)
a) encontre o décimo termo da sequência.
b) verifique se a_n = 126 é um termo dessa sequência.
a) encontre o décimo termo da sequência.
b) verifique se a_n = 126 é um termo dessa sequência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma lei de formação da sequência que é $ a_n = n^2 + 3 $, onde $ n $ é um número natural positivo ($ n \in \mathbb{N}^* $). A sequência gerada por essa lei é: 4, 7, 12, … O que precisamos fazer aqui são duas coisas:
a) Encontrar o décimo termo dessa sequência.
b) Verificar se o termo $ a_n = 126 $ faz parte dessa sequência.
a) Encontrar o décimo termo dessa sequência.
b) Verificar se o termo $ a_n = 126 $ faz parte dessa sequência.
Passo 2
Vamos começar pela parte a): Encontrar o décimo termo da sequência.
Primeiro, precisamos entender que para encontrar o $ n $-ésimo termo de uma sequência, usamos a fórmula dada. No caso, a fórmula é:
Queremos encontrar o 10º termo, ou seja, $ a_{10} $. Substituímos $ n $ por 10 na fórmula:
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Verificar se $ a_n = 126 $ é um termo da sequência.
Para isso, precisamos ver se existe algum valor de $ n $ na fórmula que faça $ a_n = 126 $. Ou seja, resolvemos a equação:
Subtraímos 3 de ambos os lados para isolar o termo com $ n $:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ n $:
Como $ n $ deve ser um número natural positivo ($ n \in \mathbb{N}^* $), e 11.09 não é um número inteiro, não existe um $ n $ natural que satisfaça a equação. Portanto, 126 não é um termo da sequência.
Resposta
a) O décimo termo da sequência é 103.
b) O número 126 não pertence à sequência.