PR10.7. Um extensômetro forma um ângulo de 45^{\circ} com o centro de um eixo de 50 mm de diâmetro. Se há uma leitura de \boldsymbol{\epsilon}=-200\left(10^{-6}\right) quando o torque \mathbf{T} é aplicado no eixo, determine o valor de \mathbf{T}. O eixo é feito de aço A-36.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o torque \mathbf{T} aplicado a um eixo circular, sabendo que um extensômetro colocado a 45^\circ em relação ao eixo do eixo registrou a deformação \epsilon = -200\left(10^{-6}\right). Dados fornecidos:
  • diâmetro do eixo: d = 50\\ \text{mm};
  • posição do extensômetro: ângulo \alpha = 45^\circ (medido entre a direção do extensômetro e o eixo longitudinal);
  • leitura do extensômetro: \epsilon = -200\left(10^{-6}\right) = -200\times 10^{-6};
  • material: aço A-36 (usarei E = 200\\ \text{GPa} e \nu = 0{,}30 como propriedades típicas do A-36).
    O objetivo único é calcular o valor numérico de \mathbf{T}.

Passo 2

Entender o que o extensômetro mede e relacionar com a deformação de cisalhamento.
  • Vamos considerar um plano com eixo longitudinal z (eixo do eixo) e direção circunferencial \theta. Em torção pura há apenas deformação de cisalhamento neste plano, ou seja, as deformações normais são nulas: \epsilon_z = 0 e \epsilon_\theta = 0, e existe apenas a deformação de cisalhamento de engenharia \gamma_{z\theta} (vou chamar só de \gamma).
  • A fórmula geral de transformação de deformações para a deformação normal medida numa direção que faz ângulo \alpha com a direção z é
\epsilon_{\alpha}=\tfrac{1}{2}\left(\epsilon_z+\epsilon_\theta\right)+\tfrac{1}{2}\left(\epsilon_z-\epsilon_\theta\right)\cos 2\alpha+\tfrac{1}{2}\gamma\sin 2\alpha.
  • Como \epsilon_z=\epsilon_\theta=0 no caso de torção pura, essa expressão reduz-se a
\epsilon_{\alpha}=\tfrac{1}{2}\gamma\sin 2\alpha.

Passo 3

Aplicando \alpha=45^\circ.
  • Para \alpha=45^\circ temos \sin 2\alpha=\sin 90^\circ=1. Logo
\epsilon_{45^\circ}=\tfrac{1}{2}\gamma.
  • Portanto a deformação de cisalhamento é
\gamma=2\epsilon_{45^\circ}.
  • Substituindo a leitura dada \epsilon_{45^\circ}=-200\times 10^{-6},
\gamma=2\cdot\left(-200\times 10^{-6}\right)=-400\times 10^{-6}=-0{,}0004.

Passo 4

Relacionar \gamma com o torque T usando a teoria da torção de barras circulares.
  • Em um eixo circular, a tensão de cisalhamento em uma distância radial \rho do centro é
\tau(\rho)=\frac{T\,\rho}{J},
onde J é o momento polar de inércia da seção transversal.
  • A relação tensão-deformação em cisalhamento é \gamma=\dfrac{\tau}{G}, onde G é o módulo de cisalhamento do material.
  • Combinando as duas,
\gamma=\frac{T\,\rho}{G\,J}.
  • Isolando T,
T=\frac{\gamma\,G\,J}{\rho}.
Aqui: \rho é o raio da seção, \rho=d/2; J para um eixo circular maciço é
J=\frac{\pi d^4}{32}.

Passo 5

Determinar os parâmetros numéricos e o módulo de cisalhamento G do aço A-36.
  • Raio: \rho=\dfrac{d}{2}=\dfrac{50\\ \text{mm}}{2}=25\\ \text{mm}=0{,}025\\ \text{m}.
  • Momento polar:
d=0{,}05\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad d^4=(0{,}05)^4=6{,}25\times 10^{-6}\\ \text{m}^4,
J=\frac{\pi d^4}{32}=\frac{\pi\cdot 6{,}25\times 10^{-6}}{32}=6{,}136\times 10^{-7}\\ \text{m}^4\\ \text{(aprox.)}.
  • Módulo de cisalhamento G: a partir de E e \nu,
G=\frac{E}{2(1+\nu)}=\frac{200\times 10^9}{2(1+0{,}3)}=\frac{200\times 10^9}{2{,}6}=76{,}923\times 10^9\\ \text{Pa}.

Passo 6

Calcular o produto GJ (mostro passo a passo para você fazer sem calculadora, mantendo a ordem de grandeza).
GJ=(76{,}923\times 10^9)\cdot(6{,}136\times 10^{-7})\approx 4{,}7200\times 10^{4}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2.
(Explicação rápida: multiplicamos os coeficientes 76{,}923\times 6{,}136\approx 472{,}0 e somamos as potências de 10 10^{9}\cdot 10^{-7}=10^{2}, resultando 472{,}0\times 10^{2}=4{,}7200\times 10^{4}.)

Passo 7

Substituir tudo na fórmula T=\dfrac{\gamma\,G\,J}{\rho} e calcular T.
  • Numerador:
\gamma\,GJ = (-0{,}0004)\cdot 4{,}7200\times 10^{4} = -18{,}88\\ \text{N}\cdot\text{m}^2.
  • Dividindo pela \rho=0{,}025\\ \text{m},
T=\frac{-18{,}88}{0{,}025}=-755{,}2\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • O sinal negativo indica que o torque está no sentido que produz a deformação negativa medida pelo extensômetro (direção/oposição convenção); o módulo do torque é 755{,}2\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Resposta

\displaystyle T = -755{,}2\\ \mathrm{N\cdot m}

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