PR10.7. Um extensômetro forma um ângulo de
com o centro de um eixo de 50 mm de diâmetro. Se há uma leitura de
quando o torque
é aplicado no eixo, determine o valor de
. O eixo é feito de aço A-36.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o torque
aplicado a um eixo circular, sabendo que um extensômetro colocado a
em relação ao eixo do eixo registrou a deformação
. Dados fornecidos:
- diâmetro do eixo:
; - posição do extensômetro: ângulo
(medido entre a direção do extensômetro e o eixo longitudinal); - leitura do extensômetro:
; - material: aço A-36 (usarei
e como propriedades típicas do A-36).
O objetivo único é calcular o valor numérico de.
Passo 2
Entender o que o extensômetro mede e relacionar com a deformação de cisalhamento.
- Vamos considerar um plano com eixo longitudinal
(eixo do eixo) e direção circunferencial . Em torção pura há apenas deformação de cisalhamento neste plano, ou seja, as deformações normais são nulas: e , e existe apenas a deformação de cisalhamento de engenharia (vou chamar só de ). - A fórmula geral de transformação de deformações para a deformação normal medida numa direção que faz ângulo
com a direção é
- Como
no caso de torção pura, essa expressão reduz-se a
Passo 3
Aplicando
.
- Para
temos . Logo
- Portanto a deformação de cisalhamento é
- Substituindo a leitura dada
,
Passo 4
Relacionar
com o torque
usando a teoria da torção de barras circulares.
- Em um eixo circular, a tensão de cisalhamento em uma distância radial
do centro é
onde
é o momento polar de inércia da seção transversal.
- A relação tensão-deformação em cisalhamento é
, onde é o módulo de cisalhamento do material. - Combinando as duas,
- Isolando
,
Aqui:
é o raio da seção,
;
para um eixo circular maciço é
Passo 5
Determinar os parâmetros numéricos e o módulo de cisalhamento
do aço A-36.
- Raio:
- Momento polar:
- Módulo de cisalhamento
: a partir de e ,
Passo 6
Calcular o produto
(mostro passo a passo para você fazer sem calculadora, mantendo a ordem de grandeza).
(Explicação rápida: multiplicamos os coeficientes
e somamos as potências de 10
, resultando
.)
Passo 7
Substituir tudo na fórmula
e calcular
.
- Numerador:
- Dividindo pela
,
- O sinal negativo indica que o torque está no sentido que produz a deformação negativa medida pelo extensômetro (direção/oposição convenção); o módulo do torque é
.