Como a Lei de Kleiber informa a dosagem de medicamentos (farmacocinética) entre espécies de diferentes massas? Agora mostre como você faria isso, sabendo a dosagem correta de um medicamento para um coelho de massa 3kg é \mathrm{D}_{\mathrm{C}}, responda:
a) qual deve ser a dosagem \mathrm{D}_{\mathrm{U}} do mesmo sedativo para um urso de massa 500 kg . Escreva \mathrm{D}_{\mathrm{U}} em função de \mathrm{D}_{\mathrm{C}};
b) qual deve ser a dosagem D_{E} do mesmo sedativo para um elefante de massa 4000 kg . Escreva D_{E} em função de D_{C}.
c) Dado que \mathrm{D}_{\mathrm{C}}=0,05 m l, calcule \mathrm{D}_{\mathrm{U}} e \mathrm{D}_{\mathrm{E}}, ambos em m l.
d) Dado que \mathrm{D}_{\mathrm{C}}=0,10 m l, calcule novamente \mathrm{D}_{\mathrm{U}} e \mathrm{D}_{\mathrm{E}}, ambos em m l. Compare as respostas deste item com as respostas do item anterior. Dobrando \mathrm{D}_{\mathrm{C}} não foi dobrado \mathrm{D}_{\mathrm{U}} e \mathrm{D}_{\mathrm{E}}. Isto ocorre porque o expoente de m não é 1 .

Passo 1

O enunciado pede que, usando a Lei de Kleiber, eu transforme a dosagem conhecida para um coelho de massa 3\\ \mathrm{kg} (essa dosagem é \mathrm{D}_{\mathrm{C}}) em dosagens equivalentes para um urso de massa 500\\ \mathrm{kg} e para um elefante de massa 4000\\ \mathrm{kg}. Pedidos específicos:
a) Escrever \mathrm{D}_{\mathrm{U}} (dosagem para o urso) em função de \mathrm{D}_{\mathrm{C}}.
b) Escrever D_{E} (dosagem para o elefante) em função de \mathrm{D}_{\mathrm{C}}.
c) Calcular \mathrm{D}_{\mathrm{U}} e \mathrm{D}_{\mathrm{E}} em \mathrm{ml} quando \mathrm{D}_{\mathrm{C}}=0,05\\ \mathrm{ml}.
d) Repetir c) quando \mathrm{D}_{\mathrm{C}}=0,10\\ \mathrm{ml} e comparar os resultados com c).
Informações dadas e fixas que vou usar: massa do coelho m_{C}=3\\ \mathrm{kg}, massa do urso m_{U}=500\\ \mathrm{kg}, massa do elefante m_{E}=4000\\ \mathrm{kg}, e o valor simbólico \mathrm{D}_{\mathrm{C}} (dosagem conhecida para o coelho).

Passo 2

O que diz a Lei de Kleiber (explicação didática): a taxa metabólica basal de um animal escala com sua massa corporal segundo uma potência. A forma usual é
\text{taxa metabólica} \propto m^{3/4}.ó
Isto significa que, multiplicando a massa por um fator, a taxa metabólica cresce por esse fator elevado a 3/4. Se quisermos que a dose de um sedativo seja “equivalente” entre espécies, uma abordagem comum é fazer a dose proporcional à taxa metabólica (ou seja, animais maiores têm dose maior, mas não proporcional à massa absoluta). Então assumimos:
\mathrm{D} \propto m^{3/4}.
Aqui \mathrm{D} é a dosagem para um animal de massa m. Essa é a hipótese padrão quando usamos a Lei de Kleiber para escalonamento de doses.

Passo 3

Transformando a proporcionalidade em fórmula prática: se \mathrm{D}_{1} é a dose para um animal de massa m_{1} e \mathrm{D}_{2} a dose para massa m_{2}, então
\frac{\mathrm{D}_{2}}{\mathrm{D}_{1}}=\left(\frac{m_{2}}{m_{1}}\right)^{3/4}.
Rearranjando, a dose para a espécie 2 é
\mathrm{D}_{2}=\mathrm{D}_{1}\left(\frac{m_{2}}{m_{1}}\right)^{3/4}.
Aqui cada símbolo significa: \mathrm{D}_{1} dose conhecida, m_{1} massa conhecida, m_{2} massa alvo, \mathrm{D}_{2} dose que queremos achar.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso do urso. Tomamos m_{1}=m_{C}=3\\ \mathrm{kg} e m_{2}=m_{U}=500\\ \mathrm{kg}. Usando a fórmula do passo anterior:
\mathrm{D}_{\mathrm{U}}=\mathrm{D}_{\mathrm{C}}\left(\frac{500}{3}\right)^{3/4}.
Essa é a resposta em forma algébrica pedida no item (a). Vou agora mostrar como calcular numericamente o fator \left(\dfrac{500}{3}\right)^{3/4}.

Passo 5

Cálculo numérico do fator para o urso (passo a passo, sem pular etapas): primeiro compute a razão
r_{U}=\frac{500}{3}\approx 166,666\ldots
Queremos r_{U}^{3/4}. Uma maneira prática é fazer a raiz quarta e depois elevar ao cubo:
r_{U}^{3/4}=\bigl(r_{U}^{1/4}\bigr)^{3}.
Calculando:
  1. \sqrt{r_{U}}\approx \sqrt{166,666\ldots}\approx 12{,}9099.
  2. A raiz quarta é \sqrt{\sqrt{r_{U}}}\approx \sqrt{12{,}9099}\approx 3{,}59331.
  3. Elevando ao cubo: 3{,}59331^{3}\approx 46{,}389.
Logo
\left(\frac{500}{3}\right)^{3/4}\approx 46{,}389.
Portanto
\mathrm{D}_{\mathrm{U}}\approx 46{,}389\;\mathrm{D}_{\mathrm{C}}.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao caso do elefante. Tomamos m_{1}=m_{C}=3\\ \mathrm{kg} e m_{2}=m_{E}=4000\\ \mathrm{kg}. Pela mesma fórmula:
\mathrm{D}_{E}=\mathrm{D}_{\mathrm{C}}\left(\frac{4000}{3}\right)^{3/4}.
Essa é a resposta algébrica pedida no item (b). Vou calcular o fator numérico.

Passo 7

Cálculo numérico do fator para o elefante (passo a passo):
  1. r_{E}=\frac{4000}{3}\approx 1333{,}333\ldots
  2. \sqrt{r_{E}}\approx \sqrt{1333{,}333}\approx 36{,}5148.
  3. Raiz quarta: \sqrt{36{,}5148}\approx 6{,}043998.
  4. Elevar ao cubo: 6{,}043998^{3}\approx 220{,}696.
Logo
\left(\frac{4000}{3}\right)^{3/4}\approx 220{,}696.
Portanto
\mathrm{D}_{E}\approx 220{,}696\;\mathrm{D}_{\mathrm{C}}.

Passo 8

Agora faço os cálculos numéricos dos itens (c) e (d).
Item (c): \mathrm{D}_{\mathrm{C}}=0,05\\ \mathrm{ml}.
Para o urso:
\mathrm{D}_{\mathrm{U}}=0,05\cdot 46{,}389\approx 2{,}31945\\ \mathrm{ml}\approx 2{,}32\\ \mathrm{ml}.
Para o elefante:
\mathrm{D}_{E}=0,05\cdot 220{,}696\approx 11{,}0348\\ \mathrm{ml}\approx 11{,}03\\ \mathrm{ml}.

Passo 9

Item (d): \mathrm{D}_{\mathrm{C}}=0,10\\ \mathrm{ml}.
Para o urso:
\mathrm{D}_{\mathrm{U}}=0,10\cdot 46{,}389\approx 4{,}6389\\ \mathrm{ml}\approx 4{,}64\\ \mathrm{ml}.
Para o elefante:
\mathrm{D}_{E}=0,10\cdot 220{,}696\approx 22{,}0696\\ \mathrm{ml}\approx 22{,}07\\ \mathrm{ml}.
Comparação entre c) e d): dobrando \mathrm{D}_{\mathrm{C}} de 0,05 para 0,10\\ \mathrm{ml}, as doses calculadas para urso e elefante também dobram (isto é natural porque a fórmula é linear em \mathrm{D}_{\mathrm{C}}). O que a Lei de Kleiber faz diferente é a relação entre massa e dose: ao aumentar a massa do animal, a dose não cresce proporcionalmente à massa (não é m^{1}), mas cresce como m^{3/4}. Por isso, animais muito maiores precisam de doses maiores, mas não proporcionalmente à massa.

Resposta

a) \displaystyle \mathrm{D}_{\mathrm{U}}=\mathrm{D}_{\mathrm{C}}\left(\frac{500}{3}\right)^{3/4}.
b) \displaystyle \mathrm{D}_{E}=\mathrm{D}_{\mathrm{C}}\left(\frac{4000}{3}\right)^{3/4}.
c) Para \mathrm{D}_{\mathrm{C}}=0,05\\ \mathrm{ml}: \mathrm{D}_{\mathrm{U}}\approx 2{,}32\\ \mathrm{ml} e \mathrm{D}_{E}\approx 11{,}03\\ \mathrm{ml}.
d) Para \mathrm{D}_{\mathrm{C}}=0,10\\ \mathrm{ml}: \mathrm{D}_{\mathrm{U}}\approx 4{,}64\\ \mathrm{ml} e \mathrm{D}_{E}\approx 22{,}07\\ \mathrm{ml}.

Exercícios relacionados