Como a Lei de Kleiber informa a dosagem de medicamentos (farmacocinética) entre espécies de diferentes massas? Agora mostre como você faria isso, sabendo a dosagem correta de um medicamento para um coelho de massa 3kg é
, responda:
a) qual deve ser a dosagem
do mesmo sedativo para um urso de massa 500 kg . Escreva
em função de
;
b) qual deve ser a dosagem
do mesmo sedativo para um elefante de massa 4000 kg . Escreva
em função de
.
c) Dado que
, calcule
e
, ambos em
.
d) Dado que
, calcule novamente
e
, ambos em
. Compare as respostas deste item com as respostas do item anterior. Dobrando
não foi dobrado
e
. Isto ocorre porque o expoente de
não é 1 .
a) qual deve ser a dosagem
b) qual deve ser a dosagem
c) Dado que
d) Dado que
Passo 1
O enunciado pede que, usando a Lei de Kleiber, eu transforme a dosagem conhecida para um coelho de massa
(essa dosagem é
) em dosagens equivalentes para um urso de massa
e para um elefante de massa
. Pedidos específicos:
a) Escrever (dosagem para o urso) em função de
.
b) Escrever (dosagem para o elefante) em função de
.
c) Calcular e
em
quando
.
d) Repetir c) quando e comparar os resultados com c).
a) Escrever
b) Escrever
c) Calcular
d) Repetir c) quando
Informações dadas e fixas que vou usar: massa do coelho
, massa do urso
, massa do elefante
, e o valor simbólico
(dosagem conhecida para o coelho).
Passo 2
O que diz a Lei de Kleiber (explicação didática): a taxa metabólica basal de um animal escala com sua massa corporal segundo uma potência. A forma usual é
Isto significa que, multiplicando a massa por um fator, a taxa metabólica cresce por esse fator elevado a
. Se quisermos que a dose de um sedativo seja “equivalente” entre espécies, uma abordagem comum é fazer a dose proporcional à taxa metabólica (ou seja, animais maiores têm dose maior, mas não proporcional à massa absoluta). Então assumimos:
Aqui
é a dosagem para um animal de massa
. Essa é a hipótese padrão quando usamos a Lei de Kleiber para escalonamento de doses.
Passo 3
Transformando a proporcionalidade em fórmula prática: se
é a dose para um animal de massa
e
a dose para massa
, então
Rearranjando, a dose para a espécie 2 é
Aqui cada símbolo significa:
dose conhecida,
massa conhecida,
massa alvo,
dose que queremos achar.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso do urso. Tomamos
e
. Usando a fórmula do passo anterior:
Essa é a resposta em forma algébrica pedida no item (a). Vou agora mostrar como calcular numericamente o fator
.
Passo 5
Cálculo numérico do fator para o urso (passo a passo, sem pular etapas): primeiro compute a razão
Queremos
. Uma maneira prática é fazer a raiz quarta e depois elevar ao cubo:
Calculando:
-
. - A raiz quarta é
. - Elevando ao cubo:
.
Logo
Portanto
Passo 6
Aplicando a fórmula ao caso do elefante. Tomamos
e
. Pela mesma fórmula:
Essa é a resposta algébrica pedida no item (b). Vou calcular o fator numérico.
Passo 7
Cálculo numérico do fator para o elefante (passo a passo):
-
-
. - Raiz quarta:
. - Elevar ao cubo:
.
Logo
Portanto
Passo 8
Agora faço os cálculos numéricos dos itens (c) e (d).
Item (c):
.
Para o urso:
Para o elefante:
Passo 9
Item (d):
.
Para o urso:
Para o elefante:
Comparação entre c) e d): dobrando
de
para
, as doses calculadas para urso e elefante também dobram (isto é natural porque a fórmula é linear em
). O que a Lei de Kleiber faz diferente é a relação entre massa e dose: ao aumentar a massa do animal, a dose não cresce proporcionalmente à massa (não é
), mas cresce como
. Por isso, animais muito maiores precisam de doses maiores, mas não proporcionalmente à massa.
Resposta
a)
.
b) .
c) Para :
e
.
d) Para :
e
.
b)
c) Para
d) Para