O volume de uma célula escala com \mathrm{L}^{3} e a área de superfície com \mathrm{L}^{2}. Determine a escala de comprimento (L) a partir da qual a taxa de absorção de nutrientes (limitada pela área) não será mais capaz de suprir as necessidades metabólicas (proporcionais ao volume).

Passo 1

O enunciado diz: o volume de uma célula escala com \mathrm{L}^{3} e a área de superfície com \mathrm{L}^{2}. Pergunta-se: a partir de que escala de comprimento \mathrm{L} a taxa de absorção de nutrientes (limitada pela área) não consegue mais suprir as necessidades metabólicas (proporcionais ao volume)?\n
Informações dadas (listadas claramente):
  • A taxa de absorção total é limitada pela área de superfície e, portanto, escala como \mathrm{L}^{2}.
  • A necessidade metabólica total escala como o volume, portanto como \mathrm{L}^{3}.
  • O enunciado pede a escala de comprimento crítica onde a oferta (absorção) deixa de ser suficiente para a demanda (metabolismo).

Passo 2

Vamos modelar as quantidades com variáveis simples e bem explicadas (isso é típico em provas: declarar variáveis claras evita confusão). Defina:
  • a = taxa de absorção por unidade de área (unidade: energia por tempo por área, por exemplo W·m^{-2}), ou seja, quanto de nutriente/energia passa pela unidade de área por unidade de tempo;
  • m = taxa metabólica por unidade de volume (unidade: energia por tempo por volume, por exemplo W·m^{-3}), ou seja, quanto de nutriente/energia é consumido por unidade de volume por unidade de tempo;
  • L = escala linear característica da célula (por exemplo, seu raio ou comprimento característico), unidade de comprimento.\n
    Observação didática: escolhemos a e m porque permitem escrever facilmente a taxa total absorvida e a necessidade total em função de L. Também verificamos dimensões depois para garantir consistência.

Passo 3

Escrevemos as expressões para total absorção e total consumo usando as escalas:
  • Total absorção A proporcional à área: A = a\,L^{2}.
  • Total demanda metabólica M proporcional ao volume: M = m\,L^{3}.
Explicação: multiplicamos a taxa por unidade ( a ou m ) pela grandeza geométrica correspondente (área \sim L^{2} ou volume \sim L^{3}). Assim A e M têm as mesmas unidades (energia por tempo).

Passo 4

A escala crítica L^{*} é definida quando oferta e demanda se igualam: A=M. Portanto começamos por igualar as expressões:
a\,L^{2} = m\,L^{3}.
Agora resolvemos essa equação para L. Dividindo ambos os lados por L^{2} (assumindo L>0):
a = m\,L.
Isolando L obtemos a expressão do comprimento crítico (aqui faço a álgebra passo a passo para você reproduzir na prova):
L = \frac{a}{m}.
Comentário didático: esta é a escala de comprimento na qual a taxa de absorção total exatamente iguala a necessidade metabólica total. Note que \dfrac{a}{m} tem dimensão de comprimento (porque a tem dimensão energia·tempo{-1}·area{-1} e m tem energia·tempo{-1}·volume{-1}).

Passo 5

Interpretando a solução: calcule a razão oferta/necessidade:
\frac{A}{M}=\frac{a\,L^{2}}{m\,L^{3}}=\frac{a}{m}\cdot\frac{1}{L}.
Deste produto vemos diretamente que, conforme L aumenta, \dfrac{A}{M} diminui (porque aparece fator 1/L). Assim:
  • Se L < \dfrac{a}{m} então \dfrac{A}{M}>1: oferta maior que demanda — célula consegue suprir metabolismo.
  • Se L = \dfrac{a}{m} então \dfrac{A}{M}=1: equilíbrio.
  • Se L > \dfrac{a}{m} então \dfrac{A}{M}<1: oferta insuficiente — a taxa de absorção não dá conta das necessidades metabólicas.\n
    Então a condição buscada (a partir da qual a absorção não supre o metabolismo) é L > \dfrac{a}{m}.

Passo 6

Observações práticas e dicas para prova (importante para você aplicar rápido no exame):
  • Verifique sempre unidades: a tem unidades de taxa por área e m de taxa por volume; a divisão a/m dá comprimento, consistente com L.
  • Se o enunciado der valores numéricos para a e m, basta calcular L^{*}=\dfrac{a}{m}. Exemplo rápido com números simples (apenas para treinar a mecânica): se a=1 (unidade arbitrária por área) e m=0{,}01 (unidade por volume), então L^{*}=1/0{,}01=100 (mesma unidade de comprimento usada em a e m).
  • Atenção às hipóteses: este modelo assume que a e m são constantes independentes de L e que a forma geométrica da célula não altera a dependência em potências de L (outras formas só mudam constantes numéricas). Na vida real, células grandes evitam esse problema com microvilosidades, invaginações de membrana ou divisão em muitas células — são “jeitos biológicos” de aumentar a área efetiva sem aumentar muito o volume.
  • Regra rápida para provas: sempre que oferta escala como L^{p} e demanda como L^{q} com q>p, então existe um limite de tamanho além do qual a demanda vence; a escala crítica vem de igualar as duas expressões.

Resposta

L^{*}=\frac{a}{m}
A absorção não supre as necessidades metabólicas para \displaystyle L>\frac{a}{m}.

Exercícios relacionados