O volume de uma célula escala com
e a área de superfície com
. Determine a escala de comprimento (L) a partir da qual a taxa de absorção de nutrientes (limitada pela área) não será mais capaz de suprir as necessidades metabólicas (proporcionais ao volume).
Passo 1
O enunciado diz: o volume de uma célula escala com
e a área de superfície com
. Pergunta-se: a partir de que escala de comprimento
a taxa de absorção de nutrientes (limitada pela área) não consegue mais suprir as necessidades metabólicas (proporcionais ao volume)?\n
Informações dadas (listadas claramente):
Informações dadas (listadas claramente):
- A taxa de absorção total é limitada pela área de superfície e, portanto, escala como
. - A necessidade metabólica total escala como o volume, portanto como
. - O enunciado pede a escala de comprimento crítica onde a oferta (absorção) deixa de ser suficiente para a demanda (metabolismo).
Passo 2
Vamos modelar as quantidades com variáveis simples e bem explicadas (isso é típico em provas: declarar variáveis claras evita confusão). Defina:
-
= taxa de absorção por unidade de área (unidade: energia por tempo por área, por exemplo W·m^{-2}), ou seja, quanto de nutriente/energia passa pela unidade de área por unidade de tempo; -
= taxa metabólica por unidade de volume (unidade: energia por tempo por volume, por exemplo W·m^{-3}), ou seja, quanto de nutriente/energia é consumido por unidade de volume por unidade de tempo; -
= escala linear característica da célula (por exemplo, seu raio ou comprimento característico), unidade de comprimento.\n
Observação didática: escolhemose porque permitem escrever facilmente a taxa total absorvida e a necessidade total em função de . Também verificamos dimensões depois para garantir consistência.
Passo 3
Escrevemos as expressões para total absorção e total consumo usando as escalas:
- Total absorção
proporcional à área: - Total demanda metabólica
proporcional ao volume:
Explicação: multiplicamos a taxa por unidade (
ou
) pela grandeza geométrica correspondente (área
ou volume
). Assim
e
têm as mesmas unidades (energia por tempo).
Passo 4
A escala crítica
é definida quando oferta e demanda se igualam:
. Portanto começamos por igualar as expressões:
Agora resolvemos essa equação para
. Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Isolando
obtemos a expressão do comprimento crítico (aqui faço a álgebra passo a passo para você reproduzir na prova):
Comentário didático: esta é a escala de comprimento na qual a taxa de absorção total exatamente iguala a necessidade metabólica total. Note que
tem dimensão de comprimento (porque
tem dimensão energia·tempo{-1}·area{-1} e
tem energia·tempo{-1}·volume{-1}).
Passo 5
Interpretando a solução: calcule a razão oferta/necessidade:
Deste produto vemos diretamente que, conforme
aumenta,
diminui (porque aparece fator
). Assim:
- Se
então : oferta maior que demanda — célula consegue suprir metabolismo. - Se
então : equilíbrio. - Se
então : oferta insuficiente — a taxa de absorção não dá conta das necessidades metabólicas.\n
Então a condição buscada (a partir da qual a absorção não supre o metabolismo) é.
Passo 6
Observações práticas e dicas para prova (importante para você aplicar rápido no exame):
- Verifique sempre unidades:
tem unidades de taxa por área e de taxa por volume; a divisão dá comprimento, consistente com . - Se o enunciado der valores numéricos para
e , basta calcular . Exemplo rápido com números simples (apenas para treinar a mecânica): se (unidade arbitrária por área) e (unidade por volume), então (mesma unidade de comprimento usada em e ). - Atenção às hipóteses: este modelo assume que
e são constantes independentes de e que a forma geométrica da célula não altera a dependência em potências de (outras formas só mudam constantes numéricas). Na vida real, células grandes evitam esse problema com microvilosidades, invaginações de membrana ou divisão em muitas células — são “jeitos biológicos” de aumentar a área efetiva sem aumentar muito o volume. - Regra rápida para provas: sempre que oferta escala como
e demanda como com , então existe um limite de tamanho além do qual a demanda vence; a escala crítica vem de igualar as duas expressões.
Resposta
A absorção não supre as necessidades metabólicas para
.