A lei do movimento de uma partícula material é dada pela expressão: r=(2 t-4) e_{x}-\left(t^{2}-\right. 4) e_{y} (SI). Determine: (a) a equação da trajectória. (b) para t=2 s, a velocidade, a aceleração tangencial e o raio da trajectória da partícula. R : (a) y=-14 x^{2}-2 x; (b) 4,47 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; 23 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula no plano, em função do tempo, pela lei
\mathbf{r}(t)=(2t-4)\,\mathbf{e}_x-\bigl(t^2-4\bigr)\,\mathbf{e}_y
e pede:
(a) a equação da trajetória y(x), eliminando o parâmetro t;
(b) no instante t=2\:\mathrm s, o módulo da velocidade, a aceleração tangencial e o raio de curvatura da trajetória.

Passo 2

Extraímos as componentes
x(t)=2t-4, \quad y(t)=-\bigl(t^2-4\bigr)=-t^2+4.
Da primeira equação isolamos t:
t=\frac{x+4}{2}.
Substituindo em y(t) obtemos
y=-\Bigl(\frac{x+4}{2}\Bigr)^2+4.
Fazendo as operações:
y=-\frac{(x+4)^2}{4}+4 =-\frac{x^2+8x+16}{4}+4 =-\frac{1}{4}x^2-2x-4+4 =-\frac{1}{4}x^2-2x.

Passo 3

Calculamos velocidade e aceleração genéricas por derivação em relação a t:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt} =2\,\mathbf{e}_x-2t\,\mathbf{e}_y, \quad \mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt} =0\,\mathbf{e}_x-2\,\mathbf{e}_y=-2\,\mathbf{e}_y.

Passo 4

Em t=2\:\mathrm s:
\mathbf{v}(2)=2\,\mathbf{e}_x-4\,\mathbf{e}_y,
seu módulo é
|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\approx4{,}47\:\mathrm{m/s}.

Passo 5

A aceleração tangencial é dada por
a_t=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{v}|}.
Aqui \mathbf{v}(2)\cdot\mathbf{a}(2) =(2)(0)+(-4)(-2)=8, então
a_t=\frac{8}{2\sqrt5}=\frac{4}{\sqrt5}\approx1{,}79\approx1{,}8\:\mathrm{m/s^2}.

Passo 6

O raio de curvatura (raio da trajetória) chama‐se \rho e vale
\rho=\frac{|\mathbf{v}|^3}{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}.
No plano \mathbf{v}(2)=(2,-4,0), \mathbf{a}=(0,-2,0),
|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|=|\, (2,-4,0)\times(0,-2,0)\,| =|(-4\cdot0-0\cdot(-2))\,\mathbf{e}_x-\cdots|\;=\;4.
Logo
\rho=\frac{(2\sqrt5)^3}{4} =\frac{40\sqrt5}{4}=10\sqrt5\approx22{,}36\approx23\:\mathrm m.

Resposta

(a) \displaystyle y=-\tfrac14x^2-2x.
(b) |\mathbf{v}|=2\sqrt5\approx4{,}47\:\mathrm{m/s},\quad a_t=\tfrac{4}{\sqrt5}\approx1{,}8\:\mathrm{m/s^2},\quad \rho=10\sqrt5\approx23\:\mathrm m.

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