A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante
do meio ambiente, isto é:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
(b) Um ovo, a
, é colocado em uma pia contendo água a
. Depois de 5 minutos, a temperatura do ovo é de
. Supondo que durante o experimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja
?
(b) Um ovo, a
Passo 1
Vamos resolver esse problema usando a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em um ambiente com temperatura constante. Precisamos usar essa lei para encontrar quanto tempo extra o ovo levará para esfriar de 38°C para 20°C, sabendo que inicialmente estava a 98°C e foi colocado em água a 18°C. Para isso, vamos utilizar a fórmula da Lei de Resfriamento e os dados fornecidos.
Passo 2
A Lei de Resfriamento de Newton é dada por:
onde:
-
é a temperatura do ovo no tempo , -
é a temperatura da água (meio ambiente), -
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver para encontrar
. A solução geral dessa equação é:
onde
é a temperatura inicial do ovo.
Passo 4
Vamos definir os dados do problema:
- Temperatura inicial do ovo,
- Temperatura da água,
- Temperatura do ovo após 5 minutos,
Precisamos encontrar a constante
usando esses dados.
Passo 5
Substituindo os valores na equação da temperatura:
Passo 6
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Passo 7
Com a constante
encontrada, vamos determinar o tempo necessário para que o ovo atinja 20°C. Usamos novamente a equação da temperatura:
Passo 8
Aplicando o logaritmo natural para resolver para
:
Passo 9
Substituindo o valor de
encontrado:
Calculando os valores:
Resposta
Serão necessários aproximadamente 13,3 minutos adicionais para que o ovo atinja 20°C.