A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante TM do meio ambiente, isto é:
dT/dt = k[T(t) - TM]
onde k é uma constante de proporcionalidade.
(b) Um ovo, a 98 graus C, é colocado em uma pia contendo água a 18 graus Celsius. Depois de 5 minutos, a temperatura do ovo é de 38 graus C. Supondo que durante o experimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja 20 graus Celsius ?

Passo 1

Vamos resolver esse problema usando a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em um ambiente com temperatura constante. Precisamos usar essa lei para encontrar quanto tempo extra o ovo levará para esfriar de 38°C para 20°C, sabendo que inicialmente estava a 98°C e foi colocado em água a 18°C. Para isso, vamos utilizar a fórmula da Lei de Resfriamento e os dados fornecidos.

Passo 2

A Lei de Resfriamento de Newton é dada por:
onde:
  • é a temperatura do ovo no tempo ,
  • é a temperatura da água (meio ambiente),
  • é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver para encontrar . A solução geral dessa equação é:
onde é a temperatura inicial do ovo.

Passo 4

Vamos definir os dados do problema:
  • Temperatura inicial do ovo,
  • Temperatura da água,
  • Temperatura do ovo após 5 minutos,
Precisamos encontrar a constante usando esses dados.

Passo 5

Substituindo os valores na equação da temperatura:

Passo 6

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :

Passo 7

Com a constante encontrada, vamos determinar o tempo necessário para que o ovo atinja 20°C. Usamos novamente a equação da temperatura:

Passo 8

Aplicando o logaritmo natural para resolver para :

Passo 9

Substituindo o valor de encontrado:
Calculando os valores:

Resposta

Serão necessários aproximadamente 13,3 minutos adicionais para que o ovo atinja 20°C.

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