Inverta a ordem de intragração na integral integral0^pi[integral0^sen x f(x, y) d y] d x, onde f(x, y) é suposta contínua em R^2.

Passo 1

Então, a gente tem uma integral dupla aqui: . O que a gente vai fazer é inverter a ordem dessa integração. Para isso, vamos precisar entender como os limites de integração mudam quando a gente troca a ordem, e usar um pouco de geometria para visualizar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites atuais. A variável varia de a . Para cada valor de , a variável varia de até . Isso significa que a região de integração está abaixo da curva no intervalo de de a .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em função de . Primeiro, vamos determinar os limites de . Sabemos que atinge seu valor máximo em , então varia de a .

Passo 4

Para cada valor fixo de , vamos encontrar os valores correspondentes de . A equação tem duas soluções no intervalo de a : e . Portanto, para cada , varia de até .

Passo 5

Com os novos limites, podemos reescrever a integral invertida. Agora, varia de a , e para cada , varia de a . A função permanece a mesma.

Resposta

A ordem de integração invertida fica:
integral0^1 [ integralarcsin y^pi - arcsin y f(x, y) , dx ] dy

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