Inverta a ordem de intragração na integral
, onde
é suposta contínua em
.
Passo 1
Então, a gente tem uma integral dupla aqui:
. O que a gente vai fazer é inverter a ordem dessa integração. Para isso, vamos precisar entender como os limites de integração mudam quando a gente troca a ordem, e usar um pouco de geometria para visualizar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais. A variável
varia de
a
. Para cada valor de
, a variável
varia de
até
. Isso significa que a região de integração está abaixo da curva
no intervalo de
de
a
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
. Primeiro, vamos determinar os limites de
. Sabemos que
atinge seu valor máximo em
, então
varia de
a
.
Passo 4
Para cada valor fixo de
, vamos encontrar os valores correspondentes de
. A equação
tem duas soluções no intervalo de
a
:
e
. Portanto, para cada
,
varia de
até
.
Passo 5
Com os novos limites, podemos reescrever a integral invertida. Agora,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
a
. A função
permanece a mesma.
Resposta
A ordem de integração invertida fica: