1. Lei de Schmid e deformação em monocristais. Um monocristal de Cu (CFC) é tracionado na direção [100]. Determine a tensão necessária para ativar o primeiro sistema de escorregamento, sabendo que \tau CRSS =2 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado pede a tensão externa \sigma necessária para ativar o primeiro sistema de escorregamento num monocristal de Cu (CFC) tracionado ao longo de [100], sabendo que a tensão de cisalhamento crítica é \tau_{\rm CRSS}=2\\ \mathrm{MPa}. Vamos usar a Lei de Schmid, que relaciona a tensão externa à tensão de cisalhamento no sistema de escorregamento.

Passo 2

A Lei de Schmid diz que
\tau = \sigma\,\cos\varphi\,\cos\lambda
onde \varphi é o ângulo entre o eixo de tração e a normal ao plano de escorregamento, e \lambda é o ângulo entre o eixo de tração e a direção de escorregamento. Para ativar o escorregamento precisamos que \tau=\tau_{\rm CRSS}. Assim,
\sigma = \frac{\tau_{\rm CRSS}}{m},
em que definimos o fator de Schmid m=\cos\varphi\,\cos\lambda.

Passo 3

Em cubica de faces centradas temos planos \{111\} e direções \langle110\rangle. O eixo de tração é [100].
Para o plano (1\,1\,1), o vetor normal unitário é
\mathbf{n} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt3},
então
\cos\varphi = (1,0,0)\cdot\frac{(1,1,1)}{\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt3}.

Passo 4

Dentro do plano (1\,1\,1) há várias direções \langle110\rangle. A que maximiza \cos\lambda é, por exemplo,
\mathbf{d} = \frac{(1,-1,0)}{\sqrt2},
pois
\cos\lambda = (1,0,0)\cdot\frac{(1,-1,0)}{\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2}.
Logo o fator de Schmid é
m = \frac{1}{\sqrt3}\,\frac{1}{\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt6}.

Passo 5

Substituindo em \sigma = \tau_{\rm CRSS}/m, temos
\sigma = \frac{2\\ \mathrm{MPa}}{1/\sqrt6} = 2\,\sqrt6\\ \mathrm{MPa} \approx 4{,}9\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\sigma \approx 4{,}9\\ \mathrm{MPa}

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