1. Relação Hall-Petch. Um aço apresenta limite de escoamento de 150 MPa para tamanho médio de grão de 50 \mu \mathrm{~m}. Sabendo que \mathrm{k}=0,65 \mathrm{MPa} \cdot \mathrm{mm}^{1 / 2} e \sigma_{0}=100 \mathrm{MPa}, calcule o limite de escoamento esperado para grão de 10 \mu \mathrm{~m}. Discuta os limites da relação HallPetch para grãos ultrafinos.

Passo 1

O enunciado pede para usar a relação de Hall–Petch, que dá o limite de escoamento \sigma_y em função do tamanho médio de grão d:
\sigma_y = \sigma_0 + k\,d^{-1/2},
onde sabemos \sigma_0 = 100\\ \mathrm{MPa}, k = 0{,}65\\ \mathrm{MPa\cdot mm^{1/2}} e queremos \sigma_y para d = 10\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 2

Convertemos o tamanho de grão para milímetros e aplicamos a fórmula:
d_2 = 10\\ \mu\mathrm{m} = 0{,}01\\ \mathrm{mm},
\sigma_y = 100 + 0{,}65 \times (0{,}01)^{-1/2} = 100 + 0{,}65 \times 10 = 106{,}5\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Para grãos ultrafinos (na faixa submicrométrica até nanométrica), a relação Hall–Petch costuma saturar e até inverter (efeito inverso de Hall–Petch). Isso ocorre porque, em grãos muito pequenos, não há pilha de discordâncias suficiente para gerar reforço e passam a dominar mecanismos de deslizamento por contorno de grão e difusão, reduzindo a resistência ao invés de aumentá-la.

Resposta

Para d=10\\ \mu\mathrm{m}, o limite de escoamento previsto é aproximadamente 106{,}5\\ \mathrm{MPa}.
Em grãos ultrafinos, a relação Hall–Petch deixa de crescer indefinidamente, podendo até inverter devido a mecanismos de deformação controlados por contornos de grão e difusão.

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