Leia a seção sobre condicionamento de sistemas lineares e calcule os números de condicionamento das seguintes matrizes com relação a (\|\cdot\|_{\infty}).
A=\left[ \begin{array}{cc}1 & 2 \\ 1.0001 & 2\end{array}\right];

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • Pedido: calcular o número de condicionamento da matriz A em relação à norma \|\cdot\|_{\infty}, ou seja calcular \operatorname{cond}_{\infty}(A).
  • Matriz dada (peguei do enunciado):
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1,0001 & 2\end{pmatrix}.
  • Lembrete do que vamos usar (não vou resolver ainda, apenas anotar as fórmulas):
    • Para uma matriz quadrada A, o número de condicionamento relativo à norma induzida por uma norma vetorial é
    \operatorname{cond}(A)=\|A\|\cdot\|A^{-1}\|.Aqui usaremos a norma infinita \|\cdot\|_{\infty}.
    • Norma infinita de um vetor x=(x_1,\dots,x_n)^T é
    \|x\|_{\infty}=\max_{i}|x_i|.
    • Norma matricial induzida pela norma \|\cdot\|_{\infty} é
    \|A\|_{\infty}=\max_{1\le i\le n}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|,isto é, o máximo das somas das magnitudes das entradas por linha.
    • Para inversa de 2\times2 usarei a fórmula: se A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} e \det(A)\neq0, então
    A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}, \qquad \det(A)=ad-bc.]

Passo 2

Calcular \|A\|_{\infty} (norma infinita da matriz A) explicando passo a passo.
  • Aplicando a definição de norma infinita às linhas de A:
    • soma absoluta da primeira linha:
    \text{soma}_1=|1|+|2|=1+2=3.
    • soma absoluta da segunda linha (note que peguei 1,0001 da matriz dada):
    \text{soma}_2=|1,0001|+|2|=1,0001+2=3,0001.
  • A norma infinita é o máximo dessas somas: \|A\|_{\infty}=\max\{3,\;3,0001\}=3,0001.
Comentário didático rápido: a norma infinito mede o “tamanho” da linha mais pesada da matriz — bom para estimar como A pode ampliar componentes de um vetor quando multiplicado à direita.

Passo 3

Calcular \det(A) e escrever a matriz inversa por meio da fórmula do caso 2\times2.
  • Determinante: \det(A)=1\cdot2 - 2\cdot1,0001 = 2 - 2,0002 = -0,0002.Observação: o determinante é pequeno (magnitude 2\times10^{-4}), o que já sugere que A pode ser mal condicionada.
  • Fórmula da inversa para 2\times2: A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}2 & -2\\\\ -1,0001 & 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular explicitamente A^{-1} usando o valor do determinante — faça as contas devagar para não errar sinais e multiplicações.
  • Primeiro compute \dfrac{1}{\det(A)}: \frac{1}{\det(A)}=\frac{1}{-0,0002}=-5000.
  • Multiplicando a matriz adjunta por -5000: A^{-1}=-5000\begin{pmatrix}2 & -2\\\\ -1,0001 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5000\cdot2 & -5000\cdot(-2)\\[4pt] -5000\cdot(-1,0001) & -5000\cdot1\end{pmatrix}.
  • Fazendo as multiplicações elemento a elemento: A^{-1}=\begin{pmatrix}-10000 & 10000\\[4pt] 5000,5 & -5000\end{pmatrix}.(Note que -5000\cdot(-1,0001)=5000,5; peguei 1,0001 da matriz original.)]

Passo 5

Calcular \|A^{-1}\|_{\infty} aplicando a definição da norma infinita à matriz inversa.
  • Soma absoluta da primeira linha de A^{-1}: \text{soma}'_1=|-10000|+|10000|=10000+10000=20000.
  • Soma absoluta da segunda linha de A^{-1}: \text{soma}'_2=|5000,5|+|-5000|=5000,5+5000=10000,5.
  • Norma infinita é o máximo: \|A^{-1}\|_{\infty}=\max\{20000,\;10000,5\}=20000.

Passo 6

Calcular o número de condicionamento \operatorname{cond}_{\infty}(A) como o produto das duas normas e interpretar o resultado.
  • Produto: \operatorname{cond}_{\infty}(A)=\|A\|_{\infty}\cdot\|A^{-1}\|_{\infty}=3,0001\cdot20000.
  • Fazer a multiplicação: 3,0001\cdot20000=3\cdot20000+0,0001\cdot20000=60000+2=60002.
  • Interpretação didática: \operatorname{cond}_{\infty}(A)=60002 é um número grande. Significa que erros relativos na entrada (por exemplo, ruído em b ao resolver Ax=b ou pequenas perturbações nos elementos de A) podem ser amplificados até cerca de 6{,}0\times10^{4} vezes no resultado x. Em termos práticos: a matriz é fortemente mal condicionada — a pequena diferença entre as duas primeiras colunas (ou entre as linhas) gerou um determinante muito pequeno e, consequentemente, uma inversa com entradas grandes.

Resposta

60002

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