\left\{\begin{array}{r} k x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1 \\\ k x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=2 \\\ x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=3 \end{array}\right.
a) Determine para que valores de k se tem garantia de que o método de Jacob e Gauss-Seidel, geram uma sequência convergente para qualquer solução inicial.
b) Escolha o menor valor inteiro positivo de k e determine uma solução aproximada do sistema, usando os métodos acima, com erro
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
O sistema é
\left\{\begin{array}{r} k x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1,\\[4pt] k x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=2,\\[4pt] x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=3. \end{array}\right.
O enunciado pede:
(a) determinar para quais valores de k existe garantia de que os métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel geram uma sequência convergente para qualquer solução inicial;
(b) escolher o menor valor inteiro positivo de k (interpreto isso como o menor inteiro positivo para o qual o sistema tem solução única) e, usando esse k, obter uma solução aproximada do sistema pelos dois métodos (Jacobi e Gauss–Seidel) até que\left\|x^{(m+1)}-x^{(m)}\right\|_{\infty}=\max_{i=1,2,3}\left|x_i^{(m+1)}-x_i^{(m)}\right|\leq\epsilon=1,0\times10^{-3}.Observação: o enunciado apresentou o índice até 4 no máximo, mas o sistema tem 3 incógnitas; por isso usei o máximo para i=1,2,3.
Informação importante que vem do sistema (vou usá-la depois): matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} k & 3 & 1\\[4pt] k & 6 & 1\\[4pt] 1 & 6 & 1 \end{pmatrix}.]
Passo 2
Relembrar e explicar condições clássicas de garantia de convergência (didática curta e prática):
Método de Jacobi e método de Gauss–Seidel têm garantia de convergência (para qualquer x^{(0)}) se, por exemplo, a matriz A for estritamente diagonalmente dominante por linhas. O significado de “estritamente diagonalmente dominante por linhas” é:|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\quad\text{para todo }i.Aqui a_{ii} é o elemento da diagonal na linha i e \sum_{j\neq i}|a_{ij}| é a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha. Se essa desigualdade valer para todas as linhas, tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem para a solução do sistema a partir de qualquer x^{(0)}.
Outra condição suficiente (mas diferente) é que A seja simétrica definida positiva; nesse caso Gauss–Seidel converge sempre (Jacobi também converge sob SPD em geral). “Simétrica definida positiva” significa A=A^T e x^TAx>0 para todo x\neq0.
Essas são condições suficientes (não necessárias). Na prática, para garantir convergência “para qualquer inicial” usamos uma dessas condições verificáveis.
Passo 3
Aplicar a condição de dominância por linhas ao nosso A e verificar se é possível para algum k.
As somas das magnitudes dos termos fora da diagonal em cada linha são:
Linha 1: \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|3|+|1|=4. A dominância estrita pede |a_{11}|=|k|>4.
Linha 2: \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|k|+|1|=|k|+1. A dominância estrita pede |a_{22}|=|6|>|k|+1, isto é 6>|k|+1\Rightarrow |k|<5.
Linha 3: \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|1|+|6|=7. A dominância estrita pede |a_{33}|=|1|>7, o que é impossível.
Portanto, para a linha 3 a condição de dominância estrita nunca pode ser satisfeita porque 1 não é maior que 7. Logo NÃO existe nenhum valor de k que torne A estritamente diagonalmente dominante por linhas. Como consequência, não podemos garantir a convergência para qualquer inicial com base nessa condição padrão.
Passo 4
Verificar outra condição simples: dominância por colunas ou simetria definida positiva.
Dominância estrita por colunas exigiria, por exemplo, para a coluna 1: |a_{11}|>|a_{21}|+|a_{31}|\Rightarrow |k|>|k|+1, impossível. Logo não há dominância estrita por colunas para qualquer k.
Simetria exigiria A=A^T. Comparando a_{12}=3 com a_{21}=k dá k=3, e a_{23}=1 com a_{32}=6 daria 1=6, impossível. Logo A não pode ser simétrica, logo não pode ser SPD para nenhum k.
Conclusão (resumindo a análise teórica): não há valor de k que satisfaça as condições simples e usuais que garantem, de maneira direta e fácil, a convergência dos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel para qualquer inicial. Portanto não existe k que dê essa garantia pelo critério de dominância estrita ou SPD.
Passo 5
Antes de aplicar os métodos numericamente, verificar singularidade do sistema (isso importa: se a matriz for singular o sistema pode não ter solução ou ter infinitas soluções, e métodos iterativos não convergirão para uma solução única).
Calculamos o determinante de A. Explicando o cálculo (passo a passo):
\det(A)= \begin{vmatrix} k & 3 & 1\\[4pt] k & 6 & 1\\[4pt] 1 & 6 & 1 \end{vmatrix}.
Usando expansão ou operações elementares: ao calcular obtemos
\det(A)=3(k-1).
(Isto pode ser verificado expandindo a primeira linha ou fazendo operações entre linhas; o resultado simplificado é \det(A)=3(k-1).)
Logo:
Se k=1 então \det(A)=0 e a matriz é singular (no caso k=1 as linhas 2 e 3 têm o mesmo lado esquerdo mas termos independentes diferentes, então o sistema é inconsistente).
Para k\neq1 a matriz é invertível e existe solução única.
Portanto o menor inteiro positivo k para o qual o sistema tem solução única é k=2. Vou escolher k=2 (menor inteiro positivo ≠1).]
Passo 6
Escrever as fórmulas iterativas (didática: como montar as iterações de Jacobi e Gauss–Seidel).
Já vemos oscilações e valores crescendo em módulo: x^{(2)}=(-1,5,-0,333333,0,5).
Uma observação prática: as iterações de Jacobi mostram comportamento oscilante e com crescimento do erro (o x_3 passou de 3 para 0,5 para 6,5 depois, se continuarmos, tende a explodir). Isso indica que o método de Jacobi não está convergindo para k=2. Concluímos numericamente que Jacobi diverge para k=2 com o chute x^{(0)}=(0,0,0). (Isto confirma que a convergência não está garantida e na prática Jacobi não funciona aqui.)]
Passo 8
Executar Gauss–Seidel (que costuma ser mais eficiente) até que a norma infinita da diferença entre iterações sucessivas seja \leq\epsilon=1,0\times10^{-3}.
Portanto a condição do critério foi satisfeita na iteração m=14. Como pedido, usei a norma infinito entre iterações consecutivas e parei quando a diferença máxima entre componentes foi menor ou igual a 1,0\times10^{-3}.]
Passo 9
Interpretar resultados e responder parte (c) (qual método converge mais rápido).
Jacobi, com k=2, mostrou comportamento oscilante e, numericamente, divergiu a partir do chute x^{(0)}=(0,0,0). Portanto Jacobi não converge aqui.
Gauss–Seidel convergiu e alcançou a tolerância pedida em 14 iterações, com aproximação final (arredondada) dada acima.
Conclusão: Gauss–Seidel converge (e convergiu) e é, na prática, muito mais rápido/efetivo neste exemplo — Jacobi não converge. Logo Gauss–Seidel é o método mais rápido aqui.
Resposta
(a) Não existe valor de k que garanta, por critérios usuais de dominância diagonal estrita ou SPD, a convergência de Jacobi e de Gauss–Seidel a partir de qualquer inicial; em particular a linha 3 impede dominância estrita (portanto não há garantia para nenhum k).\newline
(b) Menor inteiro positivo que torna a matriz invertível: k=2. Para k=2: Jacobi (a partir de x^{(0)}=(0,0,0)) não converge (comportamento oscilante/divergente). Gauss–Seidel (a partir de x^{(0)}=(0,0,0)) converge e, usando o critério \|x^{(m+1)}-x^{(m)}\|_{\infty}\leq1,0\times10^{-3}, obteve-se a aproximação