Considere o sistema de equações lineares
\left\{\begin{array}{r} k x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1 \\\ k x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=2 \\\ x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=3 \end{array}\right.
a) Determine para que valores de k se tem garantia de que o método de Jacob e Gauss-Seidel, geram uma sequência convergente para qualquer solução inicial.
b) Escolha o menor valor inteiro positivo de k e determine uma solução aproximada do sistema, usando os métodos acima, com erro
\left\|x^{k+1}-x^{k}\right\|_{\infty}=\max _{i=1, \cdots, 4}\left|x_{i}^{k+1}-x_{i}^{k}\right| \leq \epsilon=1,0 \times 10^{-3}
c) Qual dos dois métodos converge mais rápido?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O sistema é
\left\{\begin{array}{r} k x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1,\\[4pt] k x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=2,\\[4pt] x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=3. \end{array}\right.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar para quais valores de k existe garantia de que os métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel geram uma sequência convergente para qualquer solução inicial;
    (b) escolher o menor valor inteiro positivo de k (interpreto isso como o menor inteiro positivo para o qual o sistema tem solução única) e, usando esse k, obter uma solução aproximada do sistema pelos dois métodos (Jacobi e Gauss–Seidel) até que \left\|x^{(m+1)}-x^{(m)}\right\|_{\infty}=\max_{i=1,2,3}\left|x_i^{(m+1)}-x_i^{(m)}\right|\leq\epsilon=1,0\times10^{-3}.Observação: o enunciado apresentou o índice até 4 no máximo, mas o sistema tem 3 incógnitas; por isso usei o máximo para i=1,2,3.
  • Informação importante que vem do sistema (vou usá-la depois): matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} k & 3 & 1\\[4pt] k & 6 & 1\\[4pt] 1 & 6 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Relembrar e explicar condições clássicas de garantia de convergência (didática curta e prática):
  • Método de Jacobi e método de Gauss–Seidel têm garantia de convergência (para qualquer x^{(0)}) se, por exemplo, a matriz A for estritamente diagonalmente dominante por linhas. O significado de “estritamente diagonalmente dominante por linhas” é: |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\quad\text{para todo }i.Aqui a_{ii} é o elemento da diagonal na linha i e \sum_{j\neq i}|a_{ij}| é a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha. Se essa desigualdade valer para todas as linhas, tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem para a solução do sistema a partir de qualquer x^{(0)}.
  • Outra condição suficiente (mas diferente) é que A seja simétrica definida positiva; nesse caso Gauss–Seidel converge sempre (Jacobi também converge sob SPD em geral). “Simétrica definida positiva” significa A=A^T e x^TAx>0 para todo x\neq0.
  • Essas são condições suficientes (não necessárias). Na prática, para garantir convergência “para qualquer inicial” usamos uma dessas condições verificáveis.

Passo 3

Aplicar a condição de dominância por linhas ao nosso A e verificar se é possível para algum k.
As somas das magnitudes dos termos fora da diagonal em cada linha são:
  • Linha 1: \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|3|+|1|=4. A dominância estrita pede |a_{11}|=|k|>4.
  • Linha 2: \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|k|+|1|=|k|+1. A dominância estrita pede |a_{22}|=|6|>|k|+1, isto é 6>|k|+1\Rightarrow |k|<5.
  • Linha 3: \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|1|+|6|=7. A dominância estrita pede |a_{33}|=|1|>7, o que é impossível.
Portanto, para a linha 3 a condição de dominância estrita nunca pode ser satisfeita porque 1 não é maior que 7. Logo NÃO existe nenhum valor de k que torne A estritamente diagonalmente dominante por linhas. Como consequência, não podemos garantir a convergência para qualquer inicial com base nessa condição padrão.

Passo 4

Verificar outra condição simples: dominância por colunas ou simetria definida positiva.
  • Dominância estrita por colunas exigiria, por exemplo, para a coluna 1: |a_{11}|>|a_{21}|+|a_{31}|\Rightarrow |k|>|k|+1, impossível. Logo não há dominância estrita por colunas para qualquer k.
  • Simetria exigiria A=A^T. Comparando a_{12}=3 com a_{21}=k k=3, e a_{23}=1 com a_{32}=6 daria 1=6, impossível. Logo A não pode ser simétrica, logo não pode ser SPD para nenhum k.
Conclusão (resumindo a análise teórica): não há valor de k que satisfaça as condições simples e usuais que garantem, de maneira direta e fácil, a convergência dos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel para qualquer inicial. Portanto não existe k que dê essa garantia pelo critério de dominância estrita ou SPD.

Passo 5

Antes de aplicar os métodos numericamente, verificar singularidade do sistema (isso importa: se a matriz for singular o sistema pode não ter solução ou ter infinitas soluções, e métodos iterativos não convergirão para uma solução única).
Calculamos o determinante de A. Explicando o cálculo (passo a passo):
\det(A)= \begin{vmatrix} k & 3 & 1\\[4pt] k & 6 & 1\\[4pt] 1 & 6 & 1 \end{vmatrix}.
Usando expansão ou operações elementares: ao calcular obtemos
\det(A)=3(k-1).
(Isto pode ser verificado expandindo a primeira linha ou fazendo operações entre linhas; o resultado simplificado é \det(A)=3(k-1).)
Logo:
  • Se k=1 então \det(A)=0 e a matriz é singular (no caso k=1 as linhas 2 e 3 têm o mesmo lado esquerdo mas termos independentes diferentes, então o sistema é inconsistente).
  • Para k\neq1 a matriz é invertível e existe solução única.
Portanto o menor inteiro positivo k para o qual o sistema tem solução única é k=2. Vou escolher k=2 (menor inteiro positivo ≠1).]

Passo 6

Escrever as fórmulas iterativas (didática: como montar as iterações de Jacobi e Gauss–Seidel).
Para k=2 o sistema fica
\left\{\begin{array}{r} 2x_1+3x_2+x_3=1,\\[4pt] 2x_1+6x_2+x_3=2,\\[4pt] x_1+6x_2+x_3=3. \end{array}\right.
Isolando cada incógnita (forma usual para iteração):
  • Da primeira equação:
x_1=\frac{1-3x_2-x_3}{2}.
  • Da segunda:
x_2=\frac{2-2x_1-x_3}{6}.
  • Da terceira:
x_3=3-x_1-6x_2.
Jacobi: em cada iteração usa-se os valores antigos x^{(m)} para calcular todas as componentes de x^{(m+1)}:
\begin{aligned} x_1^{(m+1)}&=\frac{1-3x_2^{(m)}-x_3^{(m)}}{2},\\[4pt] x_2^{(m+1)}&=\frac{2-2x_1^{(m)}-x_3^{(m)}}{6},\\[4pt] x_3^{(m+1)}&=3-x_1^{(m)}-6x_2^{(m)}. \end{aligned}
Gauss–Seidel: usa-se imediatamente os valores já atualizados na mesma iteração:
\begin{aligned} x_1^{(m+1)}&=\frac{1-3x_2^{(m)}-x_3^{(m)}}{2},\\[4pt] x_2^{(m+1)}&=\frac{2-2x_1^{(m+1)}-x_3^{(m)}}{6},\\[4pt] x_3^{(m+1)}&=3-x_1^{(m+1)}-6x_2^{(m+1)}. \end{aligned}
Vou usar x^{(0)}=(0,0,0) como chute inicial (escolha natural quando não indicada).]

Passo 7

Executar algumas iterações de Jacobi para observar comportamento (mostrando passo a passo alguns primeiros vetores).
Iteração m=0 (inicial):
x^{(0)}=(0,0,0).
Iteração m=1 (Jacobi):
\begin{aligned} x_1^{(1)}&=\tfrac{1-3\cdot0-0}{2}=\tfrac{1}{2}=0,5,\\[4pt] x_2^{(1)}&=\tfrac{2-2\cdot0-0}{6}=\tfrac{2}{6}\approx0,333333,\\[4pt] x_3^{(1)}&=3-0-6\cdot0=3. \end{aligned}
Portanto x^{(1)}=(0,5,\;0,333333,\;3).
Iteração m=2 (Jacobi):
\begin{aligned} x_1^{(2)}&=\tfrac{1-3\cdot0,333333-3}{2}=\tfrac{1-1-3}{2}=-\tfrac{3}{2}=-1,5,\\[4pt] x_2^{(2)}&=\tfrac{2-2\cdot0,5-3}{6}=\tfrac{-2}{6}=-0,333333,\\[4pt] x_3^{(2)}&=3-0,5-6\cdot0,333333=0,5. \end{aligned}
Já vemos oscilações e valores crescendo em módulo: x^{(2)}=(-1,5,-0,333333,0,5).
Uma observação prática: as iterações de Jacobi mostram comportamento oscilante e com crescimento do erro (o x_3 passou de 3 para 0,5 para 6,5 depois, se continuarmos, tende a explodir). Isso indica que o método de Jacobi não está convergindo para k=2. Concluímos numericamente que Jacobi diverge para k=2 com o chute x^{(0)}=(0,0,0). (Isto confirma que a convergência não está garantida e na prática Jacobi não funciona aqui.)]

Passo 8

Executar Gauss–Seidel (que costuma ser mais eficiente) até que a norma infinita da diferença entre iterações sucessivas seja \leq\epsilon=1,0\times10^{-3}.
Começando com x^{(0)}=(0,0,0).
  • Iteração m=1:
    \begin{aligned} x_1^{(1)}&=\tfrac{1-3\cdot0-0}{2}=0,5,\\[4pt] x_2^{(1)}&=\tfrac{2-2\cdot0,5-0}{6}=\tfrac{1}{6}\approx0,1666667,\\[4pt] x_3^{(1)}&=3-0,5-6\cdot0,1666667=1,5. \end{aligned}
    x^{(1)}=(0,5,\;0,1666667,\;1,5).
    Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=1,5.
  • Iteração m=2:
    \begin{aligned} x_1^{(2)}&=\tfrac{1-3\cdot0,1666667-1,5}{2}=-0,5,\\[4pt] x_2^{(2)}&=\tfrac{2-2\cdot(-0,5)-1,5}{6}=0,25,\\[4pt] x_3^{(2)}&=3-(-0,5)-6\cdot0,25=2,0. \end{aligned}
    x^{(2)}=(-0,5,\;0,25,\;2,0).
    Diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=1,0.
  • Iteração m=3:
    x^{(3)}\approx(-0,875,\;0,2916667,\;2,125),\qquad \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}\approx0,375.
  • Iteração m=4:
    x^{(4)}\approx(-1,0,\;0,3125,\;2,125),\qquad \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}\approx0,125.
  • Iteração m=5:
    x^{(5)}\approx(-1,03125,\;0,3229167,\;2,09375),\qquad \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}\approx0,03125.
  • Iteração m=6:
    x^{(6)}\approx(-1,03125,\;0,328125,\;2,0625),\qquad \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty}\approx0,03125.
  • Iteração m=7:
    x^{(7)}\approx(-1,0234375,\;0,33072917,\;2,0390625),\qquad \|x^{(7)}-x^{(6)}\|_{\infty}\approx0,0234375.
  • Iteração m=8:
    x^{(8)}\approx(-1,015625,\;0,33203125,\;2,0234375),\qquad \|x^{(8)}-x^{(7)}\|_{\infty}\approx0,015625.
  • Iteração m=9:
    x^{(9)}\approx(-1,009765625,\;0,33268229,\;2,013671875),\qquad \|x^{(9)}-x^{(8)}\|_{\infty}\approx0,009765625.
  • Iteração m=10:
    x^{(10)}\approx(-1,005859375,\;0,3330078125,\;2,0078125),\qquad \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_{\infty}\approx0,005859375.
  • Iteração m=11:
    x^{(11)}\approx(-1,00341796875,\;0,3331705729,\;2,00439453125),\qquad \|x^{(11)}-x^{(10)}\|_{\infty}\approx0,00341796875.
  • Iteração m=12:
    x^{(12)}\approx(-1,001953125,\;0,333251953125,\;2,00244140625),\qquad \|x^{(12)}-x^{(11)}\|_{\infty}\approx0,001953125.
  • Iteração m=13:
    x^{(13)}\approx(-1,0010986328125,\;0,33329264322917,\;2,0013427734375),\qquad \|x^{(13)}-x^{(12)}\|_{\infty}\approx0,0010986328125.
  • Iteração m=14:
    x^{(14)}\approx(-1,0006103515625,\;0,333313\;,\;2,000732421875),
    onde o segundo componente 0,333313 é a representação arredondada de 0,333313\ldots.
    Neste passo
    \|x^{(14)}-x^{(13)}\|_{\infty}\approx0,0006103515625\leq 1,0\times10^{-3}.
Portanto a condição do critério foi satisfeita na iteração m=14. Como pedido, usei a norma infinito entre iterações consecutivas e parei quando a diferença máxima entre componentes foi menor ou igual a 1,0\times10^{-3}.]

Passo 9

Interpretar resultados e responder parte (c) (qual método converge mais rápido).
  • Jacobi, com k=2, mostrou comportamento oscilante e, numericamente, divergiu a partir do chute x^{(0)}=(0,0,0). Portanto Jacobi não converge aqui.
  • Gauss–Seidel convergiu e alcançou a tolerância pedida em 14 iterações, com aproximação final (arredondada) dada acima.
  • Conclusão: Gauss–Seidel converge (e convergiu) e é, na prática, muito mais rápido/efetivo neste exemplo — Jacobi não converge. Logo Gauss–Seidel é o método mais rápido aqui.

Resposta

(a) Não existe valor de k que garanta, por critérios usuais de dominância diagonal estrita ou SPD, a convergência de Jacobi e de Gauss–Seidel a partir de qualquer inicial; em particular a linha 3 impede dominância estrita (portanto não há garantia para nenhum k).\newline
(b) Menor inteiro positivo que torna a matriz invertível: k=2. Para k=2: Jacobi (a partir de x^{(0)}=(0,0,0)) não converge (comportamento oscilante/divergente). Gauss–Seidel (a partir de x^{(0)}=(0,0,0)) converge e, usando o critério \|x^{(m+1)}-x^{(m)}\|_{\infty}\leq1,0\times10^{-3}, obteve-se a aproximação
x\approx\begin{pmatrix}-1,0006103515625\\[4pt]0,333313\\[4pt]2,000732421875\end{pmatrix}.
(c) O método de Gauss–Seidel converge mais rápido (aqui Jacobi diverge, então GS é claramente superior).]

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