Lembre-se: Dadas duas proposições p e q :
  • Escrevemos p \Longleftrightarrow q quando p \leftrightarrow q for uma tautologia.
  • Escrevemos p \Longrightarrow q quando p \rightarrow q for uma tautologia.
Quais das seguintes afirmações são corretas? Justifique sua resposta.
(p \vee q) \rightarrow r \Longrightarrow p \rightarrow r

Passo 1

O enunciado pergunta se a fórmula
\bigl((p\vee q)\to r\bigr)\;\to\;(p\to r)
é uma tautologia. O conteúdo é lógica proposicional e vamos usar equivalências entre implicação e disjunção, além de simplificações algébricas em proposições.

Passo 2

Reescrevemos as implicações em forma de disjunção:
(p\vee q)\to r\equiv \neg(p\vee q)\vee r\equiv (\neg p\wedge\neg q)\vee r,
p\to r\equiv \neg p\vee r.
Logo a fórmula inteira vira
\bigl((\neg p\wedge\neg q)\vee r\bigr)\;\to\;(\neg p\vee r) \;\equiv\;\neg\bigl((\neg p\wedge\neg q)\vee r\bigr)\;\vee\;(\neg p\vee r).

Passo 3

Aplicamos De Morgan em \neg\bigl((\neg p\wedge\neg q)\vee r\bigr):
\neg\bigl(\neg p\wedge\neg q\bigr)\wedge\neg r \;\equiv\;(p\vee q)\wedge\neg r.
Então a expressão vira
\bigl((p\vee q)\wedge\neg r\bigr)\;\vee\;(\neg p\vee r).

Passo 4

Distribuímos e simplificamos passo a passo:
(p\vee q)\wedge\neg r \;\vee\;\neg p\;\vee\;r \;\equiv\;(\neg p\vee r)\;\vee\;(p\wedge\neg r)\;\vee\;(q\wedge\neg r).
Mas \neg p\vee(p\wedge\neg r)\equiv(\neg p\vee p)\wedge(\neg p\vee\neg r)\equiv\neg p\vee\neg r,
então tudo se reduz a
(\neg p\vee\neg r)\;\vee\;r\;\vee\;(q\wedge\neg r) \;\equiv\;(\neg r\vee r)\;\vee\;\neg p\;\vee\;(q\wedge\neg r) \;\equiv\;\text{Verdadeiro}.
Portanto é tautologia.

Resposta

A afirmação
(p\vee q)\to r\;\Longrightarrow\;p\to r
é correta, pois \bigl((p\vee q)\to r\bigr)\to(p\to r) é uma tautologia.

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