Quais das proposições a seguir são tautologias, quais são contradições?
((p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow r)) \rightarrow(p \rightarrow r)

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a proposição
((p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow r))\rightarrow(p \rightarrow r)
é uma tautologia (sempre verdadeira) ou uma contradição (sempre falsa). Vamos usar raciocínio sobre implicação para resolver.

Passo 2

Lembrando que p\rightarrow q é equivalente a “se p então q”, ou semanticamente \neg p\lor q. A proposição inteira diz: “se (p\rightarrow q) e (q\rightarrow r) são verdadeiros, então p\rightarrow r é verdadeiro”. Vamos analisar caso a caso:

Passo 3

Suponha que o antecedente (p\rightarrow q)\wedge(q\rightarrow r) seja verdadeiro.
  • Se p for verdadeiro, então de p\rightarrow q segue q.
  • Como também q\rightarrow r é verdadeiro, de q segue r.
  • Logo, sempre que p for verdadeiro, r também será; isto é, p\rightarrow r vale.
    Se p for falso, então p\rightarrow r é verdadeiro por definição de implicação.
    Em ambos os subcasos, o consequente p\rightarrow r é verdadeiro, logo a implicação inteira não falha.
Se o antecedente for falso, qualquer implicação com antecedente falso é verdadeira. Portanto, em todas as valorações de verdade de p,q,r, a fórmula dá valor Verdadeiro.

Resposta

A proposição
((p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow r))\rightarrow(p \rightarrow r)
é uma tautologia. Não é contradição.

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