1. Lembre que decimal exata é uma decimal cujos dígitos são todos 0 a partir de algum ponto em diante (0,5= 0,50000 \ldots, por exemplo). Mostre que uma decimal da forma 0, a_{1} a_{2} \ldots a_{n} 9999 \ldots, onde a_{n} \neq 9, pode ser expressa como uma decimal exata.

Passo 1

O enunciado nos dá um número decimal
x = 0,a_{1}a_{2}\dots a_{n}9999\ldots
com a_{n}\neq9, e pede para mostrar que x pode ser escrito como decimal exata (ou seja, que a partir de algum dígito todos são zeros).

Passo 2

Escrevemos x como soma da parte finita até o dígito a_{n} mais a parte infinita de noves:
x = \sum_{k=1}^{n}a_{k}10^{-k} \;+\;\sum_{m=n+1}^{\infty}9\cdot10^{-m}.

Passo 3

A soma infinita é uma série geométrica com primeiro termo 9\cdot10^{-(n+1)} e razão 1/10. Logo,
\sum_{m=n+1}^{\infty}9\cdot10^{-m} =9\cdot10^{-(n+1)}\;\frac{1}{1-\tfrac{1}{10}} =9\cdot10^{-(n+1)}\cdot\frac{10}{9} =10^{-n}.

Passo 4

Substituindo de volta em x, obtemos
x = \sum_{k=1}^{n}a_{k}10^{-k} + 10^{-n} =\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}10^{-k} + \bigl(a_{n}10^{-n}+10^{-n}\bigr) =\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}10^{-k} + (a_{n}+1)\,10^{-n}.
Como a_{n}\neq9, a_{n}+1 é um dígito de 0 a 9.

Passo 5

Isso mostra que
x = 0,a_{1}a_{2}\dots a_{n-1}(a_{n}+1)0000\ldots,
ou seja, a partir do n-ésimo dígito passa a ser zero, caracterizando uma decimal exata.

Resposta

0,a_{1}a_{2}\dots a_{n}9999\ldots =0,a_{1}a_{2}\dots a_{n-1}(a_{n}+1)0000\ldots,
o que é uma decimal exata.

Exercícios relacionados