1. Lembre-se, da Seção 14.3, de que uma função g é chamada harmônica em D se satisfaz a equação de Laplace, isto é, \nabla^{2} g=0 em D. Utilize primeira identidade de Green (com as mesmas hipóteses que no Exercício 33) para mostrar que se g é harmônica em D, então \oint_{C} D_{\mathbf{n}} g d s=0. Aqui, D_{\mathbf{n}} g é a derivada normal de g definida no Exercício 33.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se g é harmônica em D (isto é, \nabla^2 g=0 em D), então
\oint_{C}D_{\mathbf{n}}g\,ds=0.
O conteúdo principal é o uso da primeira identidade de Green, que relaciona integrais de volume envolvendo \nabla^2 e produto de gradientes com uma integral de contorno envolvendo derivada normal.

Passo 2

A primeira identidade de Green afirma que, para funções u,v\in C^2(\overline D),
\iint_{D}\bigl(u\,\nabla^2 v + \nabla u\cdot\nabla v\bigr)\,dA =\oint_{C}u\,D_{\mathbf{n}}v\,ds.

Passo 3

Escolhemos u=1 e v=g. Então \nabla u=0 e, como g é harmônica, \nabla^2 g=0. Substituindo na identidade,
\iint_{D}\bigl(1\cdot0 + 0\cdot\nabla g\bigr)\,dA =\oint_{C}1\cdot D_{\mathbf{n}}g\,ds \quad\Longrightarrow\quad 0=\oint_{C}D_{\mathbf{n}}g\,ds.

Resposta

\oint_{C}D_{\mathbf{n}}g\,ds=0.

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