1. Use a primeira identidade de Green (Exercício 33) para demonstrar a segunda identidade de Green:
\iint_{D}\left(f \nabla^{2} g-g \nabla^{2} f\right) d A=\oint_{C}(f \nabla g-g \nabla f) \cdot \mathbf{n} d s

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a segunda identidade de Green
\iint_{D}\bigl(f\,\nabla^{2}g \;-\;g\,\nabla^{2}f\bigr)\,dA =\oint_{C}\bigl(f\,\nabla g - g\,\nabla f\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds
a partir da primeira identidade de Green, que relaciona integrais de superfície com integrais de contorno.

Passo 2

A primeira identidade de Green diz que, para funções suficientemente suaves f e g em D com bordo C orientado positivamente, vale
\iint_{D}\bigl(f\,\nabla^{2}g + \nabla f\cdot\nabla g\bigr)\,dA =\oint_{C}f\,\frac{\partial g}{\partial n}\,ds
onde definimos
\frac{\partial g}{\partial n} = \nabla g\cdot\mathbf{n}.

Passo 3

Agora aplique a mesma identidade trocando f por g e g por f. Isso dá
\iint_{D}\bigl(g\,\nabla^{2}f + \nabla g\cdot\nabla f\bigr)\,dA =\oint_{C}g\,\frac{\partial f}{\partial n}\,ds.

Passo 4

Subtraia membro a membro a segunda fórmula da primeira. No lado esquerdo aparece
\iint_{D}\Bigl[(f\,\nabla^{2}g + \nabla f\cdot\nabla g)\;-\;(g\,\nabla^{2}f + \nabla g\cdot\nabla f)\Bigr]dA.
Como \nabla f\cdot\nabla g=\nabla g\cdot\nabla f, esses termos cancelam. Restará
\iint_{D}\bigl(f\,\nabla^{2}g - g\,\nabla^{2}f\bigr)\,dA.
No contorno, obtemos
\oint_{C}\Bigl[f\,\frac{\partial g}{\partial n} - g\,\frac{\partial f}{\partial n}\Bigr]ds.

Passo 5

Finalmente, use \tfrac{\partial g}{\partial n}=\nabla g\cdot\mathbf{n} e \tfrac{\partial f}{\partial n}=\nabla f\cdot\mathbf{n} para escrever o integral de contorno em forma vetorial:
\oint_{C}\Bigl(f\,\nabla g - g\,\nabla f\Bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds.

Resposta

\iint_{D}\bigl(f\,\nabla^{2}g - g\,\nabla^{2}f\bigr)\,dA =\oint_{C}\bigl(f\,\nabla g - g\,\nabla f\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds.

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