- Use a primeira identidade de Green (Exercício 33) para demonstrar a segunda identidade de Green:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a segunda identidade de Green
a partir da primeira identidade de Green, que relaciona integrais de superfície com integrais de contorno.
Passo 2
A primeira identidade de Green diz que, para funções suficientemente suaves
e
em
com bordo
orientado positivamente, vale
onde definimos
Passo 3
Agora aplique a mesma identidade trocando
por
e
por
. Isso dá
Passo 4
Subtraia membro a membro a segunda fórmula da primeira. No lado esquerdo aparece
Como
, esses termos cancelam. Restará
No contorno, obtemos
Passo 5
Finalmente, use
e
para escrever o integral de contorno em forma vetorial: