Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas e perguntas claras:
- A equação envolve o logaritmo decimal
. - É preciso encontrar todos os valores de
que satisfazem a equação. - Dados relevantes retirados do enunciado: o lado logarítmico exige
; o denominador não pode ser zero (ou seja ), mas isto fica irrelevante porque já exclui .
Passo 2
Definir a função cuja raiz procuramos e estabelecer o domínio:
- Reescrevendo a equação temos
- Definimos a função
- Condições de existência:
exige . Além disso implica , mas isso já está excluído pelo . Logo o domínio considerado é
Passo 3
Analisar comportamento da função para saber se a solução é única (isso ajuda muito na prova):
- Primeiro calculamos a derivada de
. Lembrete rápido: a derivada de é (porque ). A derivada de é . Como temos sinal menos na função:
- Cada termo em
é positivo para : e . Portanto
- Conclusão:
é estritamente crescente no domínio . Assim, se existir alguma raiz ela é única (uma função contínua crescente que troca de sinal tem exatamente uma raiz).
Passo 4
Achar um intervalo que contenha a raiz (avaliações simples para localizar a troca de sinal):
- Calcular alguns valores:
Logo
.
Logo
. Assim existe ao menos uma raiz entre
e
. Como
é estritamente crescente, existe exatamente uma raiz nesse intervalo.
- Refinamento: testar pontos intermediários para reduzir o intervalo:
Portanto a raiz está em
. Como a função é crescente e trocou de sinal entre
e
, a única raiz pertence a esse intervalo.
Passo 5
Escolher um método numérico para obter aproximação prática (básico e eficiente): método de Newton (rápido convergência quadrática). Apresento a ideia:
- Fórmula de Newton para resolver
:
- Já temos
e . - Escolhemos
(ponto dentro do intervalo onde muda de sinal).
Passo 6
Primeira iteração de Newton (detalhando as contas para dar segurança na prova):
- Calcular
com mais dígitos:
- Calcular
:
- Atualização:
Passo 7
Segunda iteração de Newton (refinando até obter boa precisão):
- Calcular
aproximadamente: -
estimado por expansão linear ou por divisão de ln por ln10 dá cerca de . -
. - Assim
-
- Calcular
:
- Atualização:
Passo 8
Terceira iteração e conclusão (verificação de convergência):
- Computando
com aproximações semelhantes obtém-se um valor muito próximo de zero (da ordem de ou menor). Já temos convergência adequada para fins de prova/exame. - Interpolando entre os valores obtidos e a mudança de sinal vista, podemos dar a raiz com precisão prática. Uma aproximação com 4 casas decimais é suficiente normalmente em prova.