Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
- A incógnita é
(procuramos soluções reais). - A função
só está definida quando . Portanto para todo . - Não há solução algébrica elementar óbvia (é uma equação transcendental), então teremos que analisar existência/unicidade de raízes e, se necessário, obter aproximações numéricas.
Passo 2
Organizamos a equação definindo a função
definida para
. Resolver a equação é encontrar
tais que
.
Passo 3
Analisamos a monotonicidade de
. Calculamos a derivada (lembrando que
, e
):
Explicando isso devagar:
-
é sempre positivo onde está definida, e . - Logo
, e portanto para todo onde é definida.
Conclusão:em cada intervalo onde é contínua (isto é, em cada intervalo ). Assim é estritamente decrescente em cada intervalo .
Passo 4
Agora olhamos os limites de
nas extremidades de cada intervalo
.
- Quando
(approach pela direita do ponto de descontinuidade), ou dependendo de , mas . Assim . - Quando
, , então .
Pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI), já queé contínua em e os limites nas bordas têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em cada intervalo . Combinando com a monotonicidade estrita (Passo 3), concluímos que existe exatamente uma raiz em cada intervalo .
Passo 5
Resumo estrutural da solução (forma prática que se usa numa prova):
- Para cada
existe exatamente uma solução da equação pertencente ao intervalo . - Assim as soluções são um conjunto infinito enumerável
com .
Passo 6
Como obter aproximações numéricas (método e interpretação para a prova):
- Um método simples e robusto é o método da bisseção (garante convergência porque temos sinal diferente nas extremidades) ou o método de Newton (rápido se a aproximação inicial for razoável).
- Fórmulas necessárias:
-
. -
. - Iteração de Newton:
-
- Escolha de chute inicial: uma escolha prática para o
-ésimo intervalo é o ponto médio (onde ); isso dá como valor inicial para verificar sinal. Para o primeiro intervalo pode-se escolher um chute melhor (por exemplo ) porque a raiz está relativamente perto de .
Passo 7
Exemplo numérico: achar a raiz no intervalo
(passo-a-passo com Newton, mostrando contas aproximadas):
- Definimos
e . - Tomamos chute inicial
. - Calcular
e : -
, . -
. -
-
, então - Correção:
-
-
- Segunda iteração (
): - Calcular
e (usando valores de , aproximados): - Com
e obtemos . -
-
, então - Correção:
-
- Calcular
- Calcular
- Após duas iterações temos
. Mais iterações refinariam, mas este valor já é razoavelmente preciso para uso em prova.
Resposta
Há exatamente uma solução em cada intervalo
para todo
.
A solução do intervalo é aproximadamente
.
A solução do intervalo