\operatorname{ctg} x-\frac{x}{5}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\cot x - \frac{x}{5} = 1.
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
  • A incógnita é x (procuramos soluções reais).
  • A função \cot x só está definida quando \sin x \neq 0. Portanto x \neq k\pi para todo k\in\mathbb{Z}.
  • Não há solução algébrica elementar óbvia (é uma equação transcendental), então teremos que analisar existência/unicidade de raízes e, se necessário, obter aproximações numéricas.

Passo 2

Organizamos a equação definindo a função
f(x)=\cot x - \frac{x}{5} - 1,
definida para x\in\mathbb{R}\setminus\{k\pi:k\in\mathbb{Z}\}. Resolver a equação é encontrar x tais que f(x)=0.

Passo 3

Analisamos a monotonicidade de f. Calculamos a derivada (lembrando que \dfrac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x, e \csc x = 1/\sin x):
f'(x) = -\csc^2 x - \frac{1}{5}.
Explicando isso devagar:
  • \csc^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x} é sempre positivo onde está definida, e \csc^2 x\ge 1.
  • Logo -\csc^2 x \le -1, e portanto -\csc^2 x - \dfrac{1}{5} <0 para todo x onde f é definida.
    Conclusão: f'(x)<0 em cada intervalo onde f é contínua (isto é, em cada intervalo (k\pi,(k+1)\pi)). Assim f é estritamente decrescente em cada intervalo (k\pi,(k+1)\pi).

Passo 4

Agora olhamos os limites de f nas extremidades de cada intervalo (k\pi,(k+1)\pi).
  • Quando x\to k\pi^+ (approach pela direita do ponto de descontinuidade), \sin x\to 0^+ ou 0^- dependendo de k, mas \cot x=\cos x/\sin x\to +\infty. Assim \lim_{x\to k\pi^+} f(x)=+\infty.
  • Quando x\to (k+1)\pi^-, \cot x\to -\infty, então \lim_{x\to (k+1)\pi^-} f(x)=-\infty.
    Pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI), já que f é contínua em (k\pi,(k+1)\pi) e os limites nas bordas têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em cada intervalo (k\pi,(k+1)\pi). Combinando com a monotonicidade estrita (Passo 3), concluímos que existe exatamente uma raiz em cada intervalo (k\pi,(k+1)\pi).

Passo 5

Resumo estrutural da solução (forma prática que se usa numa prova):
  • Para cada k\in\mathbb{Z} existe exatamente uma solução x_k da equação \cot x-\dfrac{x}{5}=1 pertencente ao intervalo (k\pi,(k+1)\pi).
  • Assim as soluções são um conjunto infinito enumerável \{x_k\}_{k\in\mathbb{Z}} com x_k\in (k\pi,(k+1)\pi).

Passo 6

Como obter aproximações numéricas (método e interpretação para a prova):
  • Um método simples e robusto é o método da bisseção (garante convergência porque temos sinal diferente nas extremidades) ou o método de Newton (rápido se a aproximação inicial for razoável).
  • Fórmulas necessárias:
    • f(x)=\cot x-\dfrac{x}{5}-1.
    • f'(x)=-\csc^2 x - \dfrac{1}{5}.
    • Iteração de Newton:
    x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Escolha de chute inicial: uma escolha prática para o k-ésimo intervalo é o ponto médio m_k = k\pi + \dfrac{\pi}{2} (onde \cot m_k = 0); isso dá f(m_k)= -\dfrac{m_k}{5}-1 como valor inicial para verificar sinal. Para o primeiro intervalo (0,\pi) pode-se escolher um chute melhor (por exemplo x_0=0{,}7) porque a raiz está relativamente perto de 0{,}7.

Passo 7

Exemplo numérico: achar a raiz no intervalo (0,\pi) (passo-a-passo com Newton, mostrando contas aproximadas):
  • Definimos f(x)=\cot x - \dfrac{x}{5} -1 e f'(x)=-\csc^2 x - \dfrac{1}{5}.
  • Tomamos chute inicial x_0=0{,}70.
    1. Calcular f(x_0) e f'(x_0):
      • \sin(0{,}70)\approx 0{,}6442177, \cos(0{,}70)\approx 0{,}7648422.
      • \cot(0{,}70)=\dfrac{\cos}{\sin}\approx 1{,}1875.
      • f(0{,}70)\approx 1{,}1875 - 0{,}14 - 1 = 0{,}0475.
      • \csc^2(0{,}70)=1/\sin^2(0{,}70)\approx 2{,}41, então f'(0{,}70)\approx -2{,}41 - 0{,}2 = -2{,}61.
      • Correção: \Delta_0 = \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)} \approx \dfrac{0{,}0475}{-2{,}61}\approx -0{,}0182.
      • x_1 = x_0 - \Delta_0 \approx 0{,}70 - (-0{,}0182) = 0{,}7182.
    2. Segunda iteração ( x_1\approx 0{,}7182):
      • Calcular f(x_1) e f'(x_1) (usando valores de \sin, \cos aproximados):
      • Com \sin(0{,}7182)\approx 0{,}6579 e \cos(0{,}7182)\approx 0{,}7531 obtemos \cot(0{,}7182)\approx 1{,}1446.
      • f(0{,}7182)\approx 1{,}1446 - 0{,}14364 -1 \approx 0{,}00096.
      • \csc^2(0{,}7182)\approx 2{,}31, então f'(0{,}7182)\approx -2{,}31 - 0{,}2 = -2{,}51.
      • Correção: \Delta_1 \approx \dfrac{0{,}00096}{-2{,}51} \approx -0{,}00038.
      • x_2 = x_1 - \Delta_1 \approx 0{,}7182 - (-0{,}00038) = 0{,}71858.
  • Após duas iterações temos x\approx 0{,}7186. Mais iterações refinariam, mas este valor já é razoavelmente preciso para uso em prova.

Resposta

Há exatamente uma solução em cada intervalo (k\pi,(k+1)\pi) para todo k\in\mathbb{Z}.
A solução do intervalo (0,\pi) é aproximadamente x\approx 0{,}7186.

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